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■ 誠品書店2000年Top 100書單
■ 明日報2000年翻譯類十大好書
■ 2007年中研院向社會推薦76本優良數學書
經濟學家說，金錢的數目愈大，花在討論怎樣去使用的時間愈少。
為什麼人的腦袋瓜，對愈大的數字愈不敏感？
科學家能預測哪一天哪個地方可看到日食，
為什麼沒法預測哪一天哪個地方會發生地震？
統計學家說，35歲以上受過大學教育的未婚女性，
想找到如意郎君的機率，比遭恐怖份子刺殺的機會還小。
真是這樣嗎？
社會學家說，奇蹟發生了：紐約市的犯罪率原本是全世界最高，
前幾年突然急劇下降。這是警方威力掃蕩的結果，
還是歹徒集體良心發現？
政治學家說，最高票當選制是最壞的選舉制度，
因為它能使一位不見得是最棒的候選人當選。
那麼還有更好的票選方式嗎？
外交家說，誠意合作，以德報德，以直報怨，
是最成功的外交手腕。這是老掉牙的口號教條吧？
小朋友問：生日蛋糕該怎麼切，才能讓大家都歡喜，
大家都覺得公平？
這些問題都可以藉由數學來解答。
數學並不是不食人間煙火的學問，
在「數學與頭腦相遇的地方」，會讓你的腦筋急轉彎，
想清楚、瞧明白許許多多發生在生活周遭，
以前只能霧裡看花的事物。
導 讀 數學和人生問題及哲學 丘宏義
——數學不再是象牙塔中供奉的偶像；
數學已經走到人間的塵世中。
前 言 有人情味的果實
——數學不是專管數字的工作；
它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法。
第一章 數學和事物到底有什麼關連？
——相對論已經給了我們答案：我們只能觀測到關係。
而量子理論給了另一個回答：我們只能觀測到機率。
第一部 心靈與數學相會的地方
第二章 指數式放大
——以年息百分之七的複利增值，
你的錢在十年後加一倍。
第三章 預估風險
——三十五歲以上、受過大學教育的未婚女性，
想找到夫君的機遇比遭恐怖份子刺殺的機會還要小？
第二部 對物質世界的解釋
第四章 量度男人、女人、及事物
——把一幅畢卡索的畫放在顯微鏡下，
你就沒辦法欣賞了，你只能辨識粗點的圖樣。
第五章 尺度的問題
——對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；
一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。
第六章 突現的性質︰多帶來不同
——群眾歇斯底里症不會發生在一個人身上，
就如一個人的病不能稱為傳染病一樣。
第七章 預測的數學
——這就是科學終歸要告訴我們的︰如何及為什麼，
而不是在哪裡或什麼時候。
第八章 稻草堆中的訊號
——科學家及藝術家都學會注意別人將要掃在地毯下的穢物，
他們學會變成很好的注意者。
第三部 對社會世界的解釋
第九章 選舉︰吉尼爾是對的
——她告訴人們的是他們不想聽的：
我們的選舉制度既不公平亦不民主。
第十章 公平的分配：所羅門王的智慧
——當我的小孩說某事是不公平的時候，
他們真正的意思是，他們得不到想要的東西。
第十一章 和藹體貼的數學原理︰數學證明了金律
——從這些數學研究中冒出來的策略，
聽上去很像老式的說教︰合作，原諒他人。
第四部 真理的數學原理
第十二章 事情因何發生？
——灰最後還是回歸灰，塵回歸塵，
可是在灰與灰、塵與塵之間，就有了人、狗及秋海棠。
第十三章 舉證的重擔
——許多人把「若ＤＮＡ比對符合，辛普森就有罪」
與「若ＤＮＡ比對不吻合，他就無罪」看成完全一樣……
第十四章 諾塞與愛因斯坦：真理的不變性
——和愛因斯坦一樣，諾塞看穿了
把看似大不相同的事物聯繫在一起的隱匿結構。
附 錄 延伸閱讀
你怎樣才能把五○○，○○○磅的水浮懸在空中，而不用到看得見的支架？
（答案︰把它變成雲。）
——藝術家米勒（Bob Miller）
受邀去遊歷每一件事物都比我們世界中的要大許多或小很多的世界，似乎帶有一種迷人的魔力。去冥想海洋或天空的廣闊，或者在顯微鏡下觀看池溏中拿來的污水，或是去想像原子的內在生活，這些行為都把我們遠遠帶離到日常生活之外的領域，進入一個只能依靠想像力才得跨入、極有異域情調的景色中去。
能長成巨人的滋味是什麼？變成一隻小蟲的大小呢？愛麗絲吃了一枚蘑菇，就脹大到如美西感恩節遊行隊的大氣球，從她的屋中爆出去；她再多吃一點，就縮小成「不可思議的不斷縮小的女人」，她永遠的恐懼就是掉到洗手盆排水口裡[1]。從「小史都華」到「金剛」，從「親愛的，我把孩子變小了」到「姆指人」[2]，這種能把大小變化的觀念，對我們的心靈顯然有一股極強的吸引力。
有很好的理由去想像，不同尺度的世界也是截然不同的世界。一加一可能大於二；在量上面的改變，可以引起在質方面極大的不同。
當物體的大小有了基本的改變時，就有不同的自然律去管理它，時間的滴答聲也因不同的鐘而異，新的世界自無中生出來，而舊的世界則完全溶化不見。舉個例子，有一個奇怪的巨人——當然，毫無疑問的，他高大而強壯。可是高大的身材帶來了顯然的不便。按照霍登（J. B. S. Haldane, 1892-1964）在他的經典散文〈大小要正好〉中說的，一位六十英尺高的巨人，每走一步就會把他的大腿骨碎裂。
原因是很簡單的幾何原理。高度只按一維增大，而表面積則按二維增大，可是體積則按三維增大。如果你把一個人的身高加倍，支持他抗拒重力的肌肉的截面積會變大四倍（二乘二），而他的體積，因此也等於重量，會增大為八倍。如果你把他的身高加為十倍，他的體重要增加為一千倍，可是支撐他的肌肉及骨骼的截面積只增為一百倍。結果是︰骨骼碎裂了。
要支持這麼大的體重，需要結實而粗的腿。你可想一下大象或河馬吧。對牠們來說，跳躍完全是不可能的。超人一定只能是跳蚤的大小[3]。
長得愈大，跌得愈重
跳蚤當然經常表演超人的絕技，這就是現在幾乎已絕跡的跳蚤馬戲團的科學原理[4]。這些微不足道的小生物可以拉動比它們體重重了一六○，○○○倍的物件，可以跳到它們身高一百倍的高度。小生物的體重和它們的肌肉截面積相比起來，使得它們似乎無比強壯。雖然它們的肌肉比起我們的不知要微弱多少倍，可是它們要去拉動的質量更加小很多很多，因而使每一隻螞蟻都成為超生物，跳過高建築似乎也不成問題[5]。
巨人跌倒也不行。這古老的諺語也是真的︰「長得愈大，跌得愈重」。而愈小，跌在地上也愈輕。這原因還是幾何。如果一隻大象從高樓跌下，重力把它的極大質量重重拉下來，而牠那相對說來較小的表面積，對空氣的阻力則幾乎沒有。反過來說，一隻小老鼠的體積（及質量）小到重力沒有什麼可以去拉的，而相對表面積大到就像它有一頂長在身上的降落傘一樣。
霍登這麼寫道，一隻小老鼠可以從一千碼（約九百公尺）的懸崖跌下，毫髮無傷。大老鼠卻可能傷重致死。而人呢，必死無疑。而馬呢？霍登告訴我們：「血肉橫飛！」
同樣的相對關係，也可以應用在無生命的下墜物體，例如水滴。大氣中溼答答的充滿了水氣，即使水氣沒有我們能看見的雲的形象。可是，一旦一粒微小的水滴開始吸引其他水分子到它的邊上，事情就疾速發展了。當這成長中的水滴直徑增加一百倍之際，它的表面積增加的倍數為一萬，而它的體積增加的倍數則為一百萬倍。大的表面積能反射更多的光，因而使雲層變成可以看得見。這個增加了不知多少倍的體積，最後大到能被重力拉下，墜到地面成為雨點。
按照研究雲的專家的說法，空氣中的水滴同時被靜電的吸引力拉住（這電力把水滴拉聚成群成為雲）以及被重力往下拉。當這些水滴很小的時候，它們的表面積和體積相對來說極大，這時是電力在管事，因此水滴浮懸在空中。一旦水滴的大小大到某程度後，重力就一定贏。
針頭大小的物體幾乎察覺不到重力。重力是只有大尺度的物體才能感覺到的力。把分子聚集在一起的電力，比重力強了近乎一兆倍。這就是為什麼只要在空氣中有一絲一毫的靜電力，就能使你的頭髮豎立起來。
對跳蚤大小的超人來說，這些電力會造成很大的問題。首先，如果他想要飛得比子彈還快的話，會遭遇到極大的困難，因為對他而言，空氣就像濃極了的分子湯，從任一方向都可把他攔住。那就像在濃稠的糖漿中游泳一樣困難。
蒼蠅可以毫無困難的在天花板上倒著走，是因為把它們的腳黏在天花板上的分子膠的膠力，要比把它們微小的重量向下拉的重力強得多。可是，水的電力可像磁石一樣吸引住昆蟲。如霍登指出的，水分子的電力使得昆蟲想去喝水的動作，成為一種危險的絕技。一隻彎下身去小水坑喝水的昆蟲遭遇到的危險性，就如一個人在懸崖邊上彎下腰去採灌木上的漿果一樣。
水是最具黏性的物質之一。剛淋浴過的人身上帶了約有一磅重（○．五公斤）的水，可是這幾乎不能算是負荷。不過按照霍登的說法，一隻剛淋浴過的小老鼠身上帶的水，就幾乎相當於它的體重。對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。按霍登的說法，這就是為什麼昆蟲有長的針狀吻（嘴）的原因。
事實上，如果你變成昆蟲的大小，生活中的每件事幾乎都不同了。一個螞蟻般大小的人永遠寫不出書來，因為一台螞蟻大小的打字機的鍵盤都會黏在一起，一本書的書頁亦然。螞蟻永遠不能生一團火，因為最小的火焰也要比它的身體大。
不同尺度，不同的力在管轄
把人或其他物體縮小到原子的大小時，就會把現實世界改變到不可辨認的地步，完全成了期望之外的新景色。原子大小的物體，和分子大小的物體或人的大小的物體，行為全然不同。管理原子大小的法則是量子力學的機率性定律。物理學家一定要極聰慧，才能把這些量子特性引誘出來，因為在人的大小的儀器中，這些特性根本不存在。我們看到的能量並不是可以很精確定量的一團，看到的繞著原子嗡嗡地轉的電子雲永遠都在機率狀態中。只有在很特異的情形下，才能在宏觀的範疇中看到這些特性。舉個例子，超導現象，這是一種超級有秩序的狀態，在這狀態中，材料裡的自由電子都自動排成隊，就如一排整齊跳著舞的「火箭女郎」[5]。由於所有的電子都鎖在齊步操舞中，在超導體中的電流可以毫無阻力的流動。
把尺度放大到分子大小時，電力就接管了。把尺度再放得更大，重力就接管了。如莫里森夫婦（Philip and Phillis Morrison）在合著的《十的威力》這本經典書中所指出的，如果你把手指放在糖罐中，拿出時，手指上沾滿了很小的糖粒，是電力把它們沾上的。可是，如果你把手指放在方塊糖的罐中，如果有方糖沾在手上，你必定會嚇一大跳；除非你存心抓一塊方糖出來。
我們知道，所有大尺度的物體都由重力管理，因為宇宙中任何比小行星大的物體都呈球形。原因是，重力把所有物體都拉向一個共同的中心。你我周遭的物體如房屋和山，外觀看起來都大不相同，可是山只能那麼高，再高的話就要被重力拉倒下來了。在火星上，山可以更高大，因為那裡的重力小些。大的物體在和重力掙扎時，就失去了凹凸不平的邊緣。「茶杯要像木星那般大小，可沒這回事，」莫里森夫婦這麼說。當一只茶杯成長到木星的大小時，它的柄和杯緣都會被自身的重力拉向中心去，直到變成一顆圓球為止。
再多加一些物質，重力的壓縮就會把核之火點燃，星球便在核火向外膨脹的壓力與重力塌縮的拉鋸戰中倖存。時間久了，核火燃盡，重力總是贏家。一枚巨星最後會塌縮成一個黑洞。這種現象與這星球周邊是否有行星繞著它轉，或者這星球最初是由什麼樣的塵雲組成的，毫無關聯。重力很民主，任何東西都可以成長為黑洞。
如果時間的腳步慢慢走……
在小事物的宇宙中，即使時間也滴答得快些。小動物動作快，吃下去的食物的新陳代謝也快些（吃得也多些）；牠們的心跳快了些，生命的長度也短了些。大衛斯（Paul Davis）在他的書《關於時間》中提出這個問題︰是否老鼠覺得自己的生命很短暫，就像我們常覺得人生苦短？
生物學家古爾德（Stephen Jay Gould）對這個問題的回答是否定的。「小動物滴答得快，生活步子也快，活得短；大的哺乳類活得長，生活步調慢。以體內各自的生理時鐘來衡量，不同大小的哺乳類，活的時間大致相同。」
我們都按自己的節拍器打出拍子，走我們人生的路程。可是大衛斯倡議說，所有的生命都分享同一種拍子，因為地球上所有的生物都依賴化學反應為生，而化學反應進行的時間窗口極窄。在物理學家佛華德（Robert Forward）的傳奇科幻小說《龍之卵》中，在中子星上生活的生物，能量是來自核反應；在它們的世界中，每件事物發生的時間都要快速百萬倍以上。地球上一分鐘的時間還沒有過去，那中子星上許多世代的生物都已經度過了從生到死的循環。
想像一下，如果我們能把新陳代謝慢下來，地球的形象會是什麼。如果時間的滴答夠慢的話，我們可以看到山的成長，大陸的板塊漂移、碰撞在一起。天空中爆滿了超新星，彗星會像隕石一樣規律墜落到崖岸邊上。每一日都像七月四日那樣[7]。
我的一位藝術家朋友喜歡作這樣的幻想：如果我們能站在離地球很遠的地方看地球，可是我們還能清楚看到人群，我們會看到每日有極大的人潮掃過地球；這些人從床上起身，而在夜晚當他們要上床去睡時，又有另一波巨大的人潮起身刷牙——這樣的人潮澎湃，從一時區移到另一時區去。刷牙波的起伏，追隨著太陽的影子掃過地面。
因為我們只能在我們的時間尺度中看到事物，因此失去了許多觀點。
顯微鏡下另有一片天地
探測我們皮膚表面的世界，可以成為一種令人恐懼的經歷。
我知道這一點，因為我試過。我用了舊金山探險館的一具裝了攝影機的可撓式顯微鏡來看過。膀子上的皮膚顯出了令人目眩的景色，有刻痕、皺痕、濕濕的看上去如巨紅木的汗毛——都藏在極大塊的穢物之中。鬚及眼睫毛看上去更令人生厭：順著睫毛泌出的油水，就如從狗尾巴流下污泥一樣。看到皮膚底下毛細管中流動的血球，的確令人驚服，就像看著不穿衣服的自己一樣。
更有威力的顯微鏡，還可顯露出所有住在你臉上的生物——掛懸在極細的絨毛上、或隱藏在你的睫毛中。更不必去提那億萬個在你床上和你共眠的，以及隱藏在你的浴巾、面巾裡的微生物了。有多少隻細菌可以站在一根大頭針的針尖上[8]？也許你不會想知道[9]。
我們都緊緊握住自己的生活尺度不放，因而錯失了生命中不少多采多姿的體驗。加州大學柏克萊分校的微生物學家培斯（Norman Pace）說：「海洋中還有哪些生物？人們只想到鯨魚和海豚。可是海洋中百分之九十的生物都小於二微米。」
在微生物學家馬古利斯與多立安．薩根所著的《演化之舞》[10]中，兩位作者指出了「大的生物總要優越些」這想法的謬誤。在細胞組成的生物（如我們）於地球上出現之前十億年中，簡單的細菌已把這行星的表面改了觀，它們發明了許多人類還在嘗試瞭解的高科技過程——包括以近乎百分之一百的效率去把太陽光轉變為能量（綠色植物經常在做）。真的，兩位作者指出我們體重（把水減掉後）的百分之十都是細菌，其中大多數細菌都是我們不能缺乏的，否則人類就無法生存。
再把鏡頭對準結實的桌子放大來看，桌子變成了有極大空域的空間，偶爾有一粒迷了路的原子核在那裡遊蕩，周邊圍滿了怒髮衝冠的電子雲。你再把鏡頭拉到極遠，然後快速拉近，這個新世界看起來先是簡單，後來變複雜，再變成簡單：從夠遠的地方看地球，只是蒼藍一小點而已；走近些，你看到了氣候的模式及海洋；再近些，人就出現在景象中；再近些，所有都消失了，你又回到物質內部的景色——大都是空空的空間。
因此，複雜性也因尺度而變。蛋是否很複雜？從外貌來看，只是一枚平凡的橢圓體，就如木星的巨紅斑。蛋的內部，有蛋白、蛋黃，及血管，及ＤＮＡ（基因），及分子搭接起來的序列……
極小宇宙的奇異與豐富，已到了我們想去掌握都不可能的地步。沒有人可以說出比薛丁格[11]更好的話了︰
當我們的心靈之眼穿透入愈來愈短的時間、愈來愈小的距離的時候，我們發現自然界的行為表現，與我們周邊的、在可見光觀測到的、及可觸覺到的物體的行為表現，完全不同，因此沒有一個按照我們宏觀經驗所創出的模型，能說是「真確」的。一個完全能令人滿意的這類模型，非但在實際上是達不到的，而且可能根本是不可思議的。或者，更精確來說，我們當然可以去思考它，可是無論我們怎樣去思考，還是錯的；也許不會和「三角形的圓」一樣的無意義，可是也許要比「長了翅翼的獅子」更沒意義些。
正如我們在下一章會看到的，當我們從少轉移到多、或從大轉移到小之際，那出現的意想不到的魔景，真能使人膽怯；而這魔景的詮釋能力，卻又使我們感到敬畏。
【注釋】
[1]譯注：《愛麗絲漫遊奇境》的第一章。
[2]譯注：「小史都華」（Steurt Little）是卡斯（Williams Garth, 1912-1996）童話中的小人物，最近被拍成電影。「金剛」（King Kong）是一九三○年代的科幻電影，一隻大猩猩變成了四、五層樓高。「親愛的，我把孩子變小了」（Honey, I Shrunk the Kids）是一位化學家不慎把小孩變小的喜劇。「姆指人」（Thumbelina）為德國格林童話中的人物，描寫的是生下來只有姆指大的小孩的故事。
[3]譯注：超人（superman）為美國漫畫中的人物，來自外星，有超乎常人的威力，能飛，能把高速的火車停下。不做超人時則假裝為一位懦弱的記者。「超人」已拍成好幾集影片。
[4]譯注：十九世紀的歐洲，流行由訓練好的跳蚤來表演的馬戲團，觀眾要用放大鏡看跳蚤拉車等絕技。現已不流行，可能已失傳。
[5]原注：按照舊金山探險博物館（Explotorium）物理學家韓福雷（Tom Humphrey）的意見，粗枝大葉說來，所有生物能跳的高度都大致相同。跳蚤和人都能大致跳到一公尺左右的高度——很有趣的一個不變數。請看第十四章〈諾塞與愛因斯坦：真理的不變性〉中的「真和美」。
[6]譯注：火箭女郎（Rockettes）為紐約無線電城的跳舞女郎隊，以整齊及極準的節拍聞名。
[7]譯注：七月四日是美國國慶，傳統上於這一日大放焰火。
[8]譯注：這是引用一位中古世紀瑣碎學派的學者的研究工作，他花了不少時間去研究一枚針頭上可以站立多少位天使。現在用來作為不合實際的研究的諷語。這裡只是拿來做比喻，不是諷語。
[9]原注：要看大開眼界的景色，請去讀這本書《祕密屋》，博旦尼斯（David Bodanis）著。
[10]譯注：《演化之舞》（Microcosmos）的兩位作者：馬古利斯（Lynn Margulis, 1938-），麻州大學講座教授，研究真核生物的演化大師，著名天文學家卡爾．薩根的前妻；多立安．薩根（Dorion Sagan），通俗科學作家，是馬古利斯與卡爾．薩根所生的兒子。《演化之舞》中文版由天下文化出版。
[11]譯注：薛丁格（Erwin Schrodinger, 1887-1961），奧地利理論物理學家，提出原子軌域模型及波動方程，一九三三年諾貝爾物理獎得主。他所創的波動方程，即現在通用的量子力學方程，名為「薛丁格方程」。
摘自《數學與頭腦相遇的地方》第五章
無論什麼理由，在最基礎處，大自然寧愛美。
——物理學者格羅斯（David Gross），加州大學聖巴巴拉分校理論物理學院院長
數學似乎有一種令人驚異的能力，可以告訴我們東西是如何運轉的，為什麼事物是按它們現有的形態存在的，及宇宙能告訴我們些什麼（只要我們願意去學習及聆聽）。令人驚奇的是，這個本領來自一種似乎很抽象、客觀而無人情味的人類活動。
可是，我們看待自己的方式，與我們所知的、或自認為已知的大自然客觀樣貌之間，有非常密切的關係。數學非但告訴我們重力的運用（因而可以建造出更好的橋樑），也告訴了我們一些普遍性的真理，這些真理影響了我們如何思考及感受（可以用來造出更好的社會）。物理學家法蘭克．歐本海默[1]喜歡把這些看成科學中有「人情味」的果實。
誠然，數學可以應用在我們從學校學來的東西：造橋樑、結算支票本，及計算贏樂透獎的機率。可是它也可以闡明心中的迷惑，非但是科學家午夜冥思時的迷惑，還包括了藝術家及詩人、學校教師、心理學家、情侶、及為人父母者的迷惑︰我們怎樣能在大自然中尋出一個意義出來，包括人的本性？真理的本質是什麼？
人類從上帝及方程式中尋求這些答案（有時在二者中同時尋找），譬如透過寫劇本及研究螞蟻來尋找。奇怪的是，這些能協助闡明「光是一種上下起伏的電磁場」的思考渠道，同樣也能搜尋多種社會問題的成因。在審判辛普森[2]時，也用到了用來證明頂夸克（top quark，最基本的粒子之一）存在的同一步驟（請見第十三章）。
這是一種使人興奮飄然的意識︰數學這看上去似乎枯燥無味的東西，與我們做為社會基礎的深奧哲學理念之間，居然有這麼緊密的關聯。藉由學習數學，我們可以把每件事物掌握得更好——從晦澀難解的物理問題，到如何在離婚案中定出公平的財產分配。
這就是在本書中，我嘗試把數學理念與解決看似不相關的問題連接起來的原因——從火星上的外星生命到「學院炸彈案」之謎[3]。這是一種嘗試，去示範數學如何能告訴人們哪些是真正該去思索及擔心的問題。如果我在本書中能完成一件事的話，那就是指出了，對生活品質的興趣不會因為量化的論證而有所減。質與量是不可分的。科學家及數學家，聖徙及哲學家，都在搜索「存在」的最基本問題，即怎麼樣和為什麼。雖然他們對於證明和證據都有不同的標準，可是量的洞察真的能幫我們去瞭解質方面的問題。
當然，數學工具不能替代藝術家、演員、經濟學家、心理學家、歷史學家、作家、宗教領袖的洞察，可是這些工具可以供應急需的新透視。
數學不是專管數字的工作
這本書的結構分成五個不等長短的部分。在第一章〈數學和事物到底有什麼關連？〉中，我表達出這個理念，即在許多方面數學不是專管數字的工作；它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法，可以讓我們把事件的內臟翻出，把藏在底下的翻上，因而可以得到對事物的真實本質的意識。當然數學家都知道這一點，可是大多數對這門科學不熟悉的門外漢都不知道。這一章要瀏覽一些不在冀望之中的數學領域，從每日的頭條新聞到「金律」[4]。
第一部〈心靈與數學相會的地方〉示範了一些理由，說明為什麼我們需要數學來幫助從紛亂中篩出真相。第一點是，數字自己不會說話，因為我們的頭腦擋了路。對每一個人來說，某些關係應當是很明顯的，可是就是不能穿透生理和經驗所擱下的、把智識和真理隔開的面紗。真的，這些心思過濾器使人的頭腦難以（或使其不可能）看到事物的真相，無論這真相是什麼。這些過濾器都是人類生理及心理上所需有的，因此不必去想如何「醫治」它們。可是，能知道它們在哪裡就可以幫上不少忙了，就如協助你開車一樣，如果知道你的車要向左偏去，就可以把方向盤向右扭，以資補償。
第二部〈對物質世界的解釋〉，我要探索及澄清一些因物質實境投入視野而產生的障礙（我並不是說，能把我們頭腦中的那些混亂狀態，與凌亂的現實完全分開）。被不停的干涉及不斷改變場合混淆的訊號，在我們目視之下熔入「量」中的「質」或熔入「質」中的「量」，複雜到不可能解開的亂麻網絡，觀測的不可捉摸性，以及作預測的風險性——這些都使得欲從資訊中得到一些見識的技藝，變成一種挑戰，即使對最熟練的數學家亦然。
第三部〈對社會世界的解釋〉要給讀者一些「數學如何能闡明世人的某些問題」的滋味，如公平。例如，一門叫做「賽局理論」的數學建議道：遵守「金律」非但是道德性的行為準繩，也是能得到好結果的有效策略。
第四部、也是最長的一部〈真理的數學原理〉是本書宗旨的核心，描寫的是數學家能經常顯露出的一些驚人的基礎關係——因和果之間的關係，例如，證據及證明，真理和美。最有趣及最刺激的部分（即高潮，至少對作者來說是如此），是一位姓諾塞（Emmy Noether）的年輕數學家如何想出一個能使愛因斯坦的廣義相對論成立的方法；她展示出對稱性與基本的、不變的自然律之間的連鎖關係。換句話說，這個能使雪花美觀的性質，也彰顯了控制整個宇宙的定律。美與真理是同一枚硬幣的兩面。
【注釋】
[1]原注：法蘭克．歐本海默（Frank Oppenheimer）是舊金山探險博物館（Exploratorium）的創辦人。他是「原子彈之父」羅伯．歐本海默（J. Robert Oppenheimer, 1904-1967）之弟。麥卡錫（Joe McCarthy）時代，法蘭克由於和平主義的論調，也被列入黑名單，遭排斥於物理學界之外。（譯注︰麥卡錫是一九五○年代的美國參議員，信口開河，不論青紅皂白把許多人戴上紅帽子。有一度被人認為是反共先鋒，後來其把戲被拆穿，名譽掃地。可是已經有許多被害者，包括歐本海默兄弟。最後參議院投票表決，公開斥責麥卡錫的行為，認為有辱參議員的身分。）
[2]譯注：辛普森（O. J. Simpson），著名美式足球健將，在洛杉磯以殺妻罪被提起公訴，可是因為警方無能，把證據搞糟而被陪審員判無罪。
[3]譯注：美國自一九七九年以來，有一位不知名的人把炸彈郵寄到不同學院中的不相關的人去，炸死及炸傷二十餘人。警方把這案稱為「大學炸彈者」（university bomber，簡稱為 unabomber）。後來大學炸彈者在報上發表反對科技的「宣言」，被他的兄弟認出，因而在蒙大拿州一處偏僻地方被找到，當時他正隱居於一間自己搭的小屋中。大學炸彈者名為 Kazynski，為一天才，哈佛大學數學博士，曾在加州大學柏克萊分校擔任助理教授。性格乖僻，教學不久後辭職，就此到被捕前皆不知去向。他認為科技是罪惡之本，因而專向學院及科技相關人士寄匿名包裹炸彈。現被判終身隔離監禁，不得保釋。
[4]譯注：「金律」（golden rule）源出基督教聖經《新約》馬太福音７：12及路加福音６：31「你們願意人怎樣待你們，你們也要怎樣待人」，和孔子的哲學類似，可是倒過來說。孔子說「己所不欲，勿施於人」，而這金律說的是「己所欲，施於人」或「推己及人」。
摘自《數學與頭腦相遇的地方》前言
這本書不像最近的許多數學書，
只想解析、追究、壓制數學恐懼症。
它反倒大方的承認數字與我們的腦袋、心思早已掛鉤，
好也罷、壞也罷，甩都甩不掉，
如此反而可以懷著輕鬆愉快的心情重新看待數學。
柯爾的幽默和淵博知識，
使得這本書充滿了睿智和開闊的視界。
——梭貝爾，《尋找地球刻度的人》作者
柯爾讓我們分享了數學心靈，發現抽象之美。
你也會和她一樣，被數學的奇妙所振奮。
——霍夫曼，1981年諾貝爾化學獎得主
這是一本充滿巧思與智慧的書，
展現了數學與科學的結合之美。
讀來頗有趣味，還能開啟許多新思維。
——克勞斯，《星艦奇航的物理》作者
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