結帳
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如果你留心觀察這世界，任何地方總是存在圖案模式之美，與數字模式之奇。但是該怎麼用數學觀念解釋那些模式呢？闡明了那些模式之後，數學又能為我們的世界帶來什麼貢獻？ 本書作者史都華是全球數一數二的通俗數學作家，他說：「數學之於自然界，就有如福爾摩斯之於線索。」藉由這書，史都華希望「送您一雙數學家的眼睛，並且帶您觀光這個數學宇宙。而在這個過程當中，會盡力改變您對真實世界既有的看法。」並且他要揭櫫一門新數學「形態數學」，那是數學家眼中的美麗新世界。（CS106）
總 序 激發出「半」個愛因斯坦 高希均 序 模式、模式、處處皆模式 李國偉 開場白 虛擬幻境機 第一章 大自然的秩序 第二章 數學能做什麼？ 第三章 數學是什麼？ 第四章 變與不變 第五章 從小提琴到電視機 第六章 因為失稱的緣故 第七章 噠噠的馬蹄聲 第八章 骰子扮演上帝嗎？ 第九章 液滴、狐與兔、花瓣 結 語 開創形態數學 附 錄 名詞注釋 延伸閱讀
大自然的秩序 我們生活在一個充滿模式（pattern）的宇宙中。 每天晚上，星辰循著圓形軌跡橫越天際；季節的更替每年周而復始。從沒有任何兩片雪花完全一樣，但它們的形狀一律是六重對稱；老虎與斑馬身上披著斑斕的條紋，豹子與鬣狗則點綴著斑點；結構繁複的波浪在海洋中此起彼落，沙漠中也有與波浪極為相似的沙丘。雨後的天空裝飾著七彩的弧線，那就是所謂的彩虹；而冬季的夜晚，月球周圍有時則會出現明亮的暈（halo）圈；此外，從潮濕的雲層中，會有球狀的水滴降落下來。模式之美 人類的心靈與文化逐漸發展出一個認識、分類與利用模式的思想體系，我們稱之為「數學」。藉由數學將我們對模式的概念組織化、系統化，我們發現了一個大祕密︰自然界的模式不僅僅是人們崇拜的對象，更是許多極重要的線索，能夠幫助我們了解主宰自然過程的法則。 四百年以前，德國天文學家刻卜勒寫了一本小卌子《六角的雪花》（The Six-Cornered Snowflke），作為送給贊助者的新年禮物。他在書中做出一項推論︰雪花必定是由許多相同的微小單元堆積而成的。 當時並沒有原子或分子的明確概念，直到很久以後，物質由原子組成的理論才為世人接受。刻卜勒未曾進行任何實驗，他只是絞盡腦汁考量各種各類的常識。他的主要證據來自雪花的六重對稱結構，那是規律堆積的一個自然結果。我們若是有一大袋相同的硬幣，想要以最緊緻的方式將硬幣鋪在桌面，那就會得到一個蜂巢狀的圖案︰除了邊緣的硬幣外，每一枚硬幣都被其他六枚硬幣包圍，形成一個個完美的六邊形。 夜空中群星的規律運動也是一條線索，它所指出的事實是地球的自轉。而波浪與沙丘的線索，對應的則是主宰水流、沙流與氣流的法則。老虎身上的條紋與鬣狗身上的斑點，佐證了生物生長與形態的數學規律性。彩虹能告訴我們光線散射（scattering）的現象，間接證實了雨滴是球狀的。而月暈則是冰晶形狀的線索（譯注︰暈是懸浮於大氣中的六角微小冰晶折射光線的結果）。 自然界的線索充滿美感，即使未曾受過任何數學訓練，我們也都能夠心領神會。而從這些線索出發，推導出基礎的法則與規律性，這種數學過程本身也是一種美，不過這是另一個範疇的美感，它表現在觀念而並非事物上。 ■數學家一如福爾摩斯 數學之於自然界，有如福爾摩斯之於線索──只要有一根雪茄煙蒂，這位小說裡虛構的大偵探就能推論出對方的年齡、職業與經濟狀況。而他的夥伴華生醫生卻沒有那麼敏銳的觀察力，他所能做的只是發出瞠目結舌的讚嘆，直到偵探大師揭露他那無懈可擊的邏輯推論，華生才終於恍然大悟。 數學家是偵查大自然模式之謎的福爾摩斯，面對著六邊形雪花的線索，數學家便能推導出冰晶的原子幾何結構。而假如您只是一位華生，這樣的結論肯定會令您一頭霧水；不過請別擔心，稍後我會告訴您，數學福爾摩斯眼中的世界是什麼模樣。 除了美感之外，模式也具有實用價值。我們一旦認識基本的模式之後，一些例外就會立刻浮現眼前。 例如︰荒漠是靜止的，但獅子卻不停走動；而在群星的圓周運動背景中，少數幾顆星辰的運動方式卻相當不同，似乎有意要人類對它們另眼相看。古希臘人將這些星星稱為「漫遊者」（planetes），這就是英文字「行星」（planet）的由來。事實上，人類在了解夜空的星辰為何呈現圓周運動後，又過了很長一段時間，才終於領悟行星運動的模式。歷經這麼漫長時光才能領悟的原因之一，是因為我們也位於太陽系內，隨著整個太陽系而運動。 外在的旁觀者眼中相當簡單的事物，對當局者卻常常顯得極其複雜。總之，行星是重力法則與運動法則的線索。 ■奇妙的數字 我們至今仍在學習認識新的模式，而且遲至最近三十年間，人們才終於明瞭兩種特殊的模式︰所謂的「碎形」（fractal）與「混沌」（chaos）。 碎形是一種奇特的幾何圖形，它在愈來愈細微的尺度不斷自我重複，在本章末我會稍微提到一點。混沌看似隨機的現象，但它的來源卻完全是確定性的，在第八章我會花許多篇幅來討論。自然界早在幾十億年前就「知曉」這些模式了，因為雲朵就是碎形，而天氣便是一種混沌現象；人類則需要一段時間才能趕上進度。 數學中最簡單的元素是數字，自然界中最簡單的模式則是數字模式。您知道的，月球以二十八天為一個完整的周期，從新月到滿月再回到新月；每一年有三百六十五天（還要多一點）；人有兩條腿，貓有四條，昆蟲有六條，蜘蛛有八條；還有，海星有五隻臂（或十隻、十一隻、甚至十七隻，視品種而定）；普通的車軸草（俗稱苜蓿）則有三片葉瓣。 人們迷信四葉的車軸草會帶來好運，便反映了一個深植人心的信念︰任何模式的例外，具有特殊意義。 事實上，花瓣的數目的確包含了一種極為奇妙的模式，下列這個奇特的數列︰三、五、八、十三、二十一、三十四、五十五、八十九，幾乎囊括了所有花朵的瓣數。例如百合有三瓣，毛莨有五瓣，許多飛燕草屬植物都是八瓣，萬壽菊有十三瓣，紫莞有二十一瓣，而大多數的雛菊都是三十四、五十五或八十九瓣。除了這些數目之外，沒有任何其他數目出現得那麼頻繁。 這些數目之間有一個明確的模式，不過需要花點腦筋才能察覺︰每個數目都是前面兩個數目的和。例如三加五等於八，五加八等於十三等等。這組數字也出現於向日葵籽的螺旋狀圖案中，數世紀前就有人注意到這種特殊的圖案，它一直是個熱門的研究題目，但是直到公元一九九二年，真正令人滿意的解釋才終於出現。我會在第九章詳細討論這個問題。 ■數字模式？數字遊戲？ 數術（numerology）是尋找模式最簡單的方法，因此也是最危險的。說它簡單是因為任何人都會，說它危險也是基於相同的理由。它的問題在於難以分辨何者是巧合，何者是真正具有意義的數字模式。 我可以舉一個很適切的例子︰刻卜勒對自然界的數學模式深深著迷，他將一生中大部分的時間，都花在尋找行星行為的數學模式上。他曾提出一個很簡單、很俐落的理論，解釋為何剛好有六顆行星存在；在他的時代，人們只知道太陽系中有水星、金星、地球、火星、木星與土星。（譯注︰這理論的根據是正多面體剛好只有五種︰正四面體、正立方體、正八面體、正十二面體、正二十面體。將它們一個套一個，空間便分割成六個部分，分別對應六顆行星。） 此外刻卜勒也發現，行星的軌道周期（orbital period，環繞太陽一周所需的時間）與它跟太陽的距離，兩者間存在著一個非常奇妙的模式。讓我們溫習兩個數學術語︰一個數的「平方」（square）是那個數自己乘自己的結果，例如，四的平方是四乘四，等於十六。一個數的「立方」（cube）則是那個數乘自己兩次的結果，例如，四的立方是四乘四乘四，等於六十四。刻卜勒發現，將任何一顆行星與太陽的距離的立方，除以它的軌道周期的平方，都會得到一個相同的數值。那個數值並沒有什麼不得了，重要的是六顆行星全部對應同一個數值。 這兩個數術的觀察結果，哪一個比較具有意義呢？後人的判決是後者，雖然它看來像是隨興的組合，還牽涉到平方、立方的複雜計算。這個數字模式正是牛頓導出重力理論的關鍵步驟之一，而在牛頓重力理論出籠之後，有關恆星與行星運動的所有問題便迎刃而解了。 反之，刻卜勒解釋行星數目的精巧、俐落的理論，已經完全遭到後人揚棄。最粗淺的理由就是它必定錯誤，因為我們現在知道太陽系的行星至少有九顆，絕非只有六顆。太陽系中也許還有更多的行星，但由於距離太陽太遠，而且太小、太暗，以致我們至今仍舊觀測不到。但更重要的是，我們不再期望找到一個精巧俐落的理論，來解釋或預測行星的數目。現在我們相信，太陽系是由太陽周圍的氣體雲（gas cloud）凝聚而成，行星的數目想必是由氣體雲中物質的多寡、分布方式，以及運動的速率與方向而定的。一團氣體雲有可能產生八顆行星，也同樣可能產生十一顆。行星的數目只是一個偶然，由當初氣體雲的初始條件（initial condition）所決定，而非一個普遍適用的模式，也不會反映任何一般性的自然律。 想要以數術的方式尋找模式，最大的問題在於幾百萬、幾千萬個偶然的結果中，才會發現一個真正的一般性模式，而且有時還很難分辨何者是模式，何者是偶然。 例如在獵戶（Orion）星座中，有三顆距離幾乎相等的恆星排成一列，形成了獵戶的「腰帶」。這是不是某個重要自然律的線索呢？另外一個類似的問題，則是有關木星的三顆較大的衛星︰木衛一（Io）、木衛二（Europa）、木衛三（Ganymede）。這三顆衛星環繞木星的周期，分別為一‧七七日、三‧五五日與七‧一六日，幾乎形成一個等比數列，每一項都是前一項的兩倍。這是一個意義重大的模式嗎？ 在這兩個例子中，前者是三顆恆星的位置排成一列，後者是三顆衛星的軌道周期「排成一列」。這兩者哪一個才是重要的線索？還是兩者皆為巧合？ 我準備讓各位讀者先思考片刻，在下一章再揭開謎底。 ■自然界的幾何 除了數字模式之外，自然界還存在著幾何模式。 事實上，本書應該叫作《自然界的數與形》。對於如今的書名《Nature\'s Numbers》（譯注︰直譯為《自然界的數》），我有如下兩個理由︰第一，這個書名比較好聽；第二，數學圖形總是能夠化約成數字，這就是電腦處理圖形的原理。螢幕上每個小點都被當成兩個數字來儲存與運算，其中一個對應於該點與螢幕右側的距離，另一個對應於它與螢幕底端的距離，這兩個數字稱為該點的座標（coordinate）。任何圖形都是由一組點所組成的，因此可以利用一串座標來表現。然而，我們通常最好還是將圖形視為圖形，這樣便能充分利用強而有力、並且極具直覺的感知能力──視覺。至於複雜的數字組合，就保留給我們較弱而且較吃力的符號處理能力吧。 長久以來，吸引數學家的圖形主要都是非常簡單的一些︰三角形、正方形、五邊形、六邊形、圓、橢圓、螺線（spiral）、正立方體、球面、錐面（cone）等等。這些圖形都存在於自然界中，雖然有些極為普通而明顯，有些則不然。以彩虹為例，它是許多圓形的集合，每個圓對應於一種色彩。通常我們無法看到整個的圓，而只能看到一個圓弧，但是從空中望去，彩虹的確是許多完整的圓圈。此外，您還可以從池塘的漣漪中、人的眼睛裡，以及蝴蝶翅膀上看到各種大小的圓。 提到漣漪，我就想到液體的流動提供了取之不盡的自然模式。波浪有許多不同的種類︰一排一排衝擊海灘的、船艇後方散成字型的、海底地震產生的輻射狀的。大多數波浪都是許多小波浪的集合，但仍有某些是「孤立」的，例如湧向河囗的海潮，當它的能量被局限在狹窄的河道中，就會造成這種所謂的「孤立波」（solitary wave）。除此之外，流體中還有迴旋的漩渦、微小的渦流，以及看來毫無結構可言、伴隨著凌亂泡沫的湍流（turbulent flow）──那是數學與物理學最大的難題之一。 在大氣中當然也有類似的模式，其中最壯觀的，要屬太空人在地球軌道上所見到的颶風大螺旋了。 地表同樣也有許多模式。地球上最驚人的數學景觀，出現於阿拉伯與撒哈拉沙漠中的「沙海」（erg）。即使那裡的風向固定且均勻一致，也會形成一個又一個的沙丘。最簡單的圖案是橫沙丘（transverse dune），它們就像海浪一樣，是許多互相平行的直列，剛好與固定的風向形成直角。有些時候各列沙丘會形成波浪狀，也就是波狀沙脊；有時它們還會碎裂成無數盾狀的新月形沙丘（barchan dune，簡稱新月丘）。 若是沙子有點潮濕，又有一些植被能將它們束縛在一起，我們就能發現拋物線狀的沙丘，形狀就像一個U字，開囗方向與風吹來的方向相反。拋物線狀沙丘有時會成群出現，看起來就像耙子的尖齒。假如風向時常改變，沙丘便可能形成其他的形狀，例如一群星狀的沙丘，每個都從中央隆起處輻射出數個不規則的臂，整個沙丘群就排列成了雜亂的斑點圖案。 ■看看動物界的模式 自然界對條紋與斑點的喜愛也延伸到動物界，老虎、豹、斑馬、長頸鹿都是明顯的例子。 動植物的形體與模式是數學心靈的最佳遊獵場，比如說，為何那麼多的貝類呈螺旋狀？海星為什麼擁有對稱的臂？為什麼許多病毒的外形是規則的幾何圖形，其中最不可思議的一種是正二十面體（icosahedron，由二十個正三角形構成的規則立體結構）？為何那麼多的動物具有兩側對稱（bilateral symmetry）？這種對稱又為什麼不是放諸四海皆準，您稍微仔細點觀察，就會發現例外，例如人類心臟的位置，或是大腦左右半球間的差別？還有，為什麼大多數人都慣用右手，卻又有不少人是左撇子？ 除了軀體形狀的模式之外，生物界還存在著許許多多動作的模式。譬如人類在行走時，雙腳以規則的節奏踏向地面︰左、右、左、右、左、右。當一隻四腳動物（比方說一匹馬）行進的時候，伴隨的模式則更為複雜，不過卻同樣具有節奏。這種運動的普遍模式甚至涵蓋了昆蟲的爬行、鳥類的飛翔、水母的脈動，魚類、無足蟲類、蛇類的波浪狀運動。有一種沙漠地帶的角響尾蛇（sidewinder），前進時全身就像是一根螺旋狀的彈簧，一面畫著S形曲線一面向前衝，以便盡量減少與滾燙的沙子接觸的面積。還有，微小的細菌會利用微型螺旋狀尾巴推進，那種尾巴能像螺旋槳一樣剛硬地旋轉。 ■雲朵形狀和大小不相干 最後，我要討論另一種範疇的模式。這種模式直到最近才吸引住人類的想像力，卻立刻造成轟動與熱潮。我們對這種模式的認識其實才剛起步而已；它存在於我們本以為散亂而無結構的地方。 例如，讓我們想像一團雲朵。雖然氣象學家早已根據形態將雲朵分類，包括卷雲（cirrus）、層雲（stratus）、積雲（cumulus）等等，但那些都是非常籠統的形狀，並非傳統數學家所能辨識的幾何圖形。我們從來沒有見過球狀的、立方的，或是正二十面體的雲朵，它們一律是沒有固定形狀的、稀疏而模糊的一團。然而，雲朵確實擁有一種非常獨特的模式，一種對稱性，它與雲朵形成的物理過程有密切的關係。 簡單地說，就是我們無法一眼看出雲朵的大小。如果我們看到一頭象，便能大致估計出牠有多大（像房子那麼大的象會被本身的重量壓垮；像老鼠一樣大的象不可能有那麼粗的腿）。但雲朵卻完全不同，遠方的一大團雲看來與近處的一小團雲一模一樣，因此無法分辨它是距離遙遠或是體積真的很小。當然，雲朵有許多不同的形狀，不過那些形狀與體積都沒有系統化的關係。 雲朵形狀的「尺度無關性」（scale independence）已經由實驗證實了，在雲朵的尺度改變一千倍時仍然成立。換句話說，一公里寬與一千公里寬的雲朵看來並沒有什麼分別。這種模式也是一條線索︰水蒸氣凝結成液態水的「相變」（phase transition）過程，是雲朵形成的物理機制，而物理學家已經發現，所有的相變都具有同樣的「尺度不變性」。 其實，這種所謂「統計性自我相似」（statistical self-similarity）在其他自然形體中也能發現。我有一個研究油田地質學的瑞典籍同事，常喜歡給人看一張幻燈片──是他的朋友站在一艘小艇上，安穩地倚靠著旁邊的一個岩棚，岩棚的高度只到他的腋下。這張幻燈片完全看不出破綻，那艘小艇明明停泊在一個兩公尺深的小峽谷邊緣。事實上，那個岩棚位於遠方峽灣的一側，高度大約有一千公尺。想要照出這樣的相片，困難主要在於得將前景的人物與遠方的風景照得同樣清晢，這樣便能讓人信以為真。 沒有人會試著用一頭大象玩同樣的把戲。然而，這個把戲卻可以用在自然界的許多形體上，包括山脈、河流網絡、樹木，甚至物質在整個宇宙中的分布都很有可能。 數學家曼德布洛特（Benoit Mandelbrot,1924-）管它們叫作「碎形」，並將這個名詞發揚光大。在過去十五年間，一項研究不規則性的科學「碎形幾何」已迅速崛起。但是我不準備多談碎形，不過造成碎形的動力過程──所謂的混沌現象，將是本書的主角之一。 ■更深入的視野 隨著這些嶄新數學理論的發展，過去難以捉摸的自然模式已漸漸給揭開神祕面紗了。除了知性的衝擊之外，我們也正在見證實際的應用。我們對於自然界的神祕規律有了嶄新的了解之後，這些知識已被運用到各個領域上。例如操縰人造衛星航向一個新目的地，所消耗的燃料之少是過去任何人做夢也想不到的；還有，幫列車頭與其他滾動式機祴避免輪子的磨損，增進心律調節器的效率，管理森林與漁場等等，都幫得上忙；甚至可以用來製造更有效率的洗碗機。 但是最重要的一點，在於它為我們居住的這個宇宙，以及我們在宇宙中的位置，提供了一個更為深入的視野。
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