結帳
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一根琴弦的振動，怎麼會和電視機扯上關係，然後改變整個世界？
數學跟大自然又有什麼關聯？
數學怎麼解釋自然界的萬千形態？
比如說，為什麼花朵多是五瓣或八瓣，少有六瓣、七瓣，那跟黃金比例有關嗎？
水滴的形狀真的是淚珠狀嗎？
為什麼沙丘起伏這麼像波浪？
我們周遭世界的許許多多現象，都可以用數學來解釋。
如果沒有數學，這世界的文明也不會如此進步。
如果你習於用文學家的眼，或藝術家的眼，來欣賞大自然，
那麼《大自然的數學遊戲》建議你： 不妨用數學家的眼睛來看世界。
透過數學家的眼睛，你看到的不只是更真實的世界，
也會看到處處充滿圖案模式、數字模式的美麗新世界。
序 模式、模式、處處皆模式 李國偉
開場白 虛擬幻境機
第一章 大自然的秩序
第二章 數學能做什麼？
第三章 數學是什麼？
第四章 變與不變
第五章 從小提琴到電視機
第六章 因為失稱的緣故
第七章 噠噠的馬蹄聲
第八章 骰子扮演上帝嗎？
第九章 液滴、狐與兔、花瓣
結語 開創形態數學
附錄 名詞注釋
延伸閱讀
大自然的秩序 我們生活在一個充滿模式（pattern）的宇宙中。
每天晚上，星辰循著圓形軌跡橫越天際；季節的更替每年周而復始。從沒有任何兩片雪花完全一樣，但它們的形狀一律是六重對稱；老虎與斑馬身上披著斑斕的條紋，豹子與鬣狗則點綴著斑點；結構繁複的波浪在海洋中此起彼落，沙漠中也有與波浪極為相似的沙丘。雨後的天空裝飾著七彩的弧線，那就是所謂的彩虹；而冬季的夜晚，月球周圍有時則會出現明亮的暈圈；此外，從潮濕的雲層中，會有球狀的水滴降落下來。模式之美 人類的心靈與文化逐漸發展出一個認識、分類與利用模式的思想體系，我們稱之為「數學」。藉由數學將我們對模式的概念組織化、系統化，我們發現了一個大祕密︰自然界的模式不僅僅是人們崇拜的對象，更是許多極重要的線索，能夠幫助我們了解主宰自然過程的法則。
四百年以前，德國天文學家刻卜勒寫了一本小冊子《六角的雪花》（The Six-Cornered Snowflake），作為送給贊助者的新年禮物。他在書中做出一項推論︰雪花必定是由許多相同的微小單元堆積而成的。 當時並沒有原子或分子的明確概念，直到很久以後，物質由原子組成的理論才為世人接受。刻卜勒未曾進行任何實驗，他只是絞盡腦汁考量各種各類的常識。他的主要證據來自雪花的六重對稱結構，那是規律堆積的一個自然結果。我們若是有一大袋相同的硬幣，想要以最緊緻的方式將硬幣鋪在桌面，那就會得到一個蜂巢狀的圖案︰除了邊緣的硬幣外，每一枚硬幣都被其他六枚硬幣包圍，形成一個個完美的六邊形。
夜空中群星的規律運動也是一條線索，它所指出的事實是地球的自轉。而波浪與沙丘的線索，對應的則是主宰水流、沙流與氣流的法則。老虎身上的條紋與鬣狗身上的斑點，佐證了生物生長與形態的數學規律性。彩虹能告訴我們光線散射（scattering）的現象，間接證實了雨滴是球狀的。而月暈則是冰晶形狀的線索。 自然界的線索充滿美感，即使未曾受過任何數學訓練，我們也都能夠心領神會。而從這些線索出發，推導出基礎的法則與規律性，這種數學過程本身也是一種美，不過這是另一個範疇的美感，它表現在觀念而並非事物上。
數學家一如福爾摩斯
數學之於自然界，有如福爾摩斯之於線索──只要有一根雪茄菸蒂，這位小說裡虛構的大偵探就能推論出對方的年齡、職業與經濟狀況。而他的夥伴華生醫生卻沒有那麼敏銳的觀察力，他所能做的只是發出瞠目結舌的讚嘆，直到偵探大師揭露他那無懈可擊的邏輯推論，華生才終於恍然大悟。
數學家是偵查大自然模式之謎的福爾摩斯，面對著六邊形雪花的線索，數學家便能推導出冰晶的原子幾何結構。而假如您只是一位華生，這樣的結論肯定會令您一頭霧水；不過請別擔心，稍後我會告訴您，數學福爾摩斯眼中的世界是什麼模樣。 除了美感之外，模式也具有實用價值。我們一旦認識基本的模式之後，一些例外就會立刻浮現眼前。
例如︰荒漠是靜止的，但獅子卻不停走動；而在群星的圓周運動背景中，少數幾顆星辰的運動方式卻相當不同，似乎有意要人類對它們另眼相看。古希臘人將這些星星稱為「漫遊者」（planetes），這就是英文字「行星」（planet）的由來。事實上，人類在了解夜空的星辰為何呈現圓周運動後，又過了很長一段時間，才終於領悟行星運動的模式。歷經這麼漫長時光才能領悟的原因之一，是因為我們也位於太陽系內，隨著整個太陽系而運動。
外在的旁觀者眼中相當簡單的事物，對當局者卻常常顯得極其複雜。總之，行星是重力法則與運動法則的線索。
摘自《大自然的數學遊戲》大自然的秩序
史都華
我有一個夢想……
我的周圍是一片虛無──並不是空洞的空間，因為空間尚未存在；也並非漆黑一片，因為色彩的概念還沒有形成。那只是單純的虛無，等待著實有的來臨。
我默唸第一個指令︰「我說要有空間」。但我要什麼樣的空間呢？我有許多選擇︰三維空間，多維空間，甚至彎曲空間。
我做了選擇。
另一個指令下達之後，空間便充滿了某種無所不在的液體，其中生出無數波浪與渦流，某處是平靜的高潮，某處有一團泡沫，此外還有湍急的巨大漩渦。
我再把空間漆成藍色，並在液體中畫出許多白色的流線，好讓液體流動的規律呈現在我眼前。
我又將一個小紅球放在液體中，它立刻憑空騰起，絲毫不受周遭混沌的影響，直到我給它一個指令，它才沿著一條流線滑開。我將自己的身體縮小一百倍，動念讓自己跳到球面上，以便對開展的事物做一次鳥瞰。每隔幾秒鐘，我就在液流中放置一個綠色標籤，用來記錄小球的行徑。假如我碰觸到某個標籤，它便會緩緩如花朵般綻開，好像沙漠中的仙人掌受到雨水滋潤後綻開的慢拍快放畫面；而在每一個綻開的「花瓣」上，都有著許多圖形、數字與符號。而且，小紅球本身也會如花般綻放，當它綻開時，那些圖形、數字與符號也就跟著變化。
但我對那些符號的行進並不滿意，於是我將小球輕推到另一條流線上，不斷微調它的位置，直到看見一個絕對無誤的跡象，顯示出我正在尋找的一種奇異性，才停止這項動作。我打響一下手指，小球便將自己外推到未來，並向我回報它的發現。這下子很有希望了……突然之間，出現了一大團類似的小紅球，全都沿著液流游動，好像是一大群游魚。它們迅速開展、迴旋、伸出捲鬢、攤成一片一片。接下來，又有更多的小球加入這場遊戲──金色的、紫色的、褐色的、銀色的、粉紅的……，我險些要將所有的色彩用光。
七彩的平面互相交錯，形成複雜的幾何結構。我將它固定，為它打磨，並且漆上許多條紋，然後隨手一揮，將所有的小球趕走。我再將那些標籤召來，檢視它們盛開的花瓣，並摘下一些貼在半透明的網格上。那幅網格也是剛凝聚成形的，彷彿消散的霧氣中顯現的一幅風景。
對了！就是這樣。
我下了一道新的指令︰「存檔。檔名︰三體問題中一個新的混沌現象；日期︰今天。」
空間立即崩潰，四周重歸一片虛無。這樣，今天上午的研究便完成了，於是我退出這台「虛擬幻境機」（virtual unreality machine），準備找個地方享受午餐。
這個奇特的夢想其實極為接近現實；因為我們已經有了「虛擬實境」系統（virtual reality system），可以模擬「普通」空間中的事物。而我將這個夢想稱為「虛擬幻境」，因為它所模擬的場景，全都是數學家豐富的想像力所創造的世界。事實上，這台虛擬幻境機大部分組件都已存在。例如，能讓您「飛過」任何幾何形體的電腦繪圖軟體；能夠依循任何一道方程式、展現變化模式的動力系統軟體；能夠替人進行最可怕的複雜運算，並且得出正確答案的符號代數軟體。
數學家想要進入他們所創造的世界，只是時間早晚的問題。
帶您觀光「數學宇宙」
不過，這些科技雖然令人讚嘆，我的夢想卻不必靠它來實現。這個夢想早已成真，早已存在於每位數學家的腦海中。那正是數學家在創造過程中的感受，我只不過用了一點文學的誇張手法來描摹罷了。在數學家的世界中，區別不同物件的標示通常並非色彩，而是符號標記或名稱。對於生存在數學世界的人而言，那些標記與色彩一樣生動鮮明。
其實，除去五顏六色的影像之後，我的夢想正是每位數學家所居住的幻想世界──在那個世界中，彎曲空間或高於三「維」（dimension）的空間不只是稀鬆平常，根本就是無可避免的結構。
您或許會感到這些影像特異而陌生，與「數學」這兩個字連想起的代數符號天差地遠。這是因為數學家在描述他們的世界時，不得不借用符號與簡單的圖形；甚至數學家彼此之間的溝通亦然。但是，符號對數學的作用，就像音符對音樂的作用一樣。
過去許多世紀以來，眾多數學家的心靈合力創造了他們自己的宇宙。我不知道這個宇宙位於何處（我也不認為真有這麼一個「何處」），但我可以向您保證，一旦置身其中，您便會感到這個數學宇宙極其真實。弔詭的是，正是由於數學的精神宇宙如此特異，才為人類提供了許多對真實世界最深的洞察力。
我現在就要帶您觀光這個數學宇宙，並且試圖送您一對數學家的眼睛。而在這個過程中，我會盡力改變您對真實世界既有的看法。
摘自《大自然的數學遊戲》開場白
模式、模式、處處皆模式
李國偉（本書審訂者）
在這本書中，pattern是很關鍵的字眼，但是如何翻譯它卻是很傷腦筋的事。如果你翻開字典，大概多數解釋成「圖案、花樣、式樣、典型」。你可以想像一面龐大的牆，上面貼著美麗的壁紙，壁紙總可以從一塊印好特別設計圖畫的區域出發，再把圖畫反覆向四方擴散開來。這就是pattern的一種最具代表性的具象意義。
壁紙在視覺上帶來的規則性，就反映在圖案、花樣、式樣這些字眼裡。反過來當我們讀到這些字眼時，心裡便自然興起某種圖形的條理。但是我們現在需要把心理的認知向更抽象的層次提升，pattern標誌了物件之間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、抽象的關係、甚至思維的方式。
總而言之，pattern與規律性是密不可分的，它強調的是形式上的規律，而非實質上的規律。譬如說兩個蘋果的組成化學成分相當雷同，但是pattern的規律表現在它們長的樣子類似。
用圖案、花樣、式樣這些字眼翻譯pattern，似乎過於具象，但如果新造一些名詞，像「形樣」、「樣形」，或前面的「形」字都改成「型」字，讀者恐怕很難適應，也不容易掌握它的意思。因此我們採取大陸上專家討論這方面理論，已經漸漸約定俗成的翻譯法，把pattern譯作「模式」。
數學的世界
「模式」其實也是一個舊瓶，不過經由本書，讀者可以品嚐到它所容納的新酒，而且好像除了它，別的瓶子還不太容易裝這種新酒。
所謂的新酒，也就是本書所要傳達的核心觀念，就是說數學是研究模式的科學。
在巴比倫的時代，人已經會用數字記帳了。在古埃及的時代，丈量尼羅河氾濫後的田界，已經發展出幾何學。所以數學很久以來，被認為是研究「數」與「形」的學問。十七世紀牛頓與萊布尼茲發明微積分，開始有能力掌握變動的量。函數與變換的概念，也因而日漸成長為數學裡重要的結構。這種比「數」與「形」更抽象的概念一旦成為數學研究的對象，人類創造各類抽象對象的限制似乎完全消失。數學的世界充滿了不具實存意義的物件，可是它們之間的規律，又持有比物理世界更絕對的確定性。
因此到了現代，數學已經超出研究「數」與「形」的範圍。如何刻劃數學研究的對象與特性，成為一個值得令人重新深思的課題。「模式」便是在這樣一種知識發展的背景中，被提出並且賦與統合意義的說法。
風吹草低見牛羊
本書的作者史都華是一位有成就的數學家，更練就一枝生花妙筆，在很多地方傳播數學的新知。他可能是繼《科學美國人》雜誌「數學遊戲」專欄作家葛登能（Martin Gardner）之後，寫數學普及文章最多產、也最有影響力的一位作家。
本書的特點在充分利用動力學，特別是非線性動力學的實例，說明模式的無所不在。這些數學的成果雖然是非常晚近的進展，但是像碎形、混沌等等新名詞，都能在極短時間內俘虜了大眾幻想的心。
自來水龍頭滴下的水滴，到底是以什麼過程與形式落下？馬匹奔騰的四蹄，到底以什麼樣的順序與節奏邁進？環繞樹枝生長的葉片，到底按照什麼規則一圈圈伸展開來？這些現象都是日常生活中最容易看到的，但是它們背後的動力學成因，卻到最近幾年才搞清楚。如果你不看這本書，恐怕還不敢相信，很普通的模式，卻具有極奧妙的產生機制。
「天蒼蒼，野茫茫，風吹草低見牛羊。」你可以想像一枝枝草葉在風中擺盪的情景，但是巨大數量的草葉個別的運動狀態，簡直無法精確描述。然而牧草的原野，卻又像浩瀚的海洋，葉尖在風行下會如波浪般有規則、有韻律的起伏。因此一旦尋找到適當的尺度，就有可能發現形態或運動的規律模式。當代的數學仍在努力尋找恰當的語言與工具，去表達與發掘更深刻的模式。作者所倡議的新數學──「形態數學」（morphomatics），恐怕是我們別無選擇、非得邁進的道路。
──李國偉，1996年3月於中央研究院
摘自《大自然的數學遊戲》序
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