大腦解鎖

每次學習，大腦的神經路徑就會成形、強化或連結

研究人員從動物實驗找到大腦可塑性的新證據，接著就開始研究人腦改變的潛能。最有說服力的研究來自倫敦。

我的教書生涯就是從倫敦開始的。倫敦是全世界最有活力的都市，這裡有數百萬的居民和觀光客。每天，你都可看到「小黑」（傳統的黑色計程車）在大街小巷穿梭。倫敦的小黑駕駛可說是地表上最厲害的運將，又有「人肉GPS」之稱。你跳上一部小黑，告訴司機你要去某個地方，如果司機說他不知道那個地方在哪裡，你就可以向計程車管理機關申訴。

要記住倫敦的每一條路，倒背如流，得費盡千辛萬苦，才辦得到。如果你要在倫敦開小黑，大約必須花費四年的時間。最近，我在倫敦搭小黑，司機告訴我，他花了七年才通過考試。在準備期間，應試司機必須記住以查令十字車站為中心、半徑十公里內的兩萬五千條街道和兩萬個地標或地點，以及任兩點間最順的路線。

這不是死背硬記就能背下來的，你必須開過每一條路，感受每一條街，親眼看看地標，看任兩個地點要如何連接，才記得起來。在訓練完成後，司機必須通過「倫敦道路知識測驗」才可執業。每個倫敦計程車司機平均考了十二次才過關。

倫敦計程車司機的訓練範圍及焦點引發腦科學家的注意。科學家因而決定研究計程車司機在受訓前後的大腦變化。研究發現，經過密集的空間訓練之後，計程車司機的海馬迴明顯增長。這項研究非常重要，原因有好幾個。首先，研究對象是屬於多個年齡層的成年人，這些成年人全都出現顯著的腦部成長與改變。其次，他們腦部成長的區域──即海馬迴──對所有形式的空間及數學思維非常重要。

研究人員還發現，如果小黑司機退休了，海馬迴就會萎縮──不是因為年齡大了，而是因為比較少使用。這種程度的大腦可塑性及變化震驚了科學界。成人如果積極的研究、學習，腦部就會產生新的連結與路徑，但是如果不需使用，這些路徑就會漸漸萎縮、消失。

出錯能強化大腦路徑

十三歲的克萊蕾莎正在學單簧管。她看起來只是個很普通的小女孩，音樂資質平庸，音感沒特別好，節奏感平平，也沒有特別強的學習動機。但根據音樂心理學家的計算，她運用特別的學習方法使自己的學習速度快十倍，而轟動音樂界。研究人員錄下一段驚人的學習影片，讓音樂專家研究。

科伊爾看了這段影片之後，建議這段影片題為：「用六分鐘達成一個月學習成效的女孩」。他如此描述克萊蕾莎的練習過程：「克萊蕾莎吸氣，吹了兩個音。接著停下來，把口中的單簧管移開，盯著譜，瞇著眼。接著，重新吹奏。吹完第一句，馬上停下來。第一句有七個音，她漏了一個⋯⋯她又從頭開始，這次多吹了幾個音，又漏了最後一個音，再倒回去，重吹，把方才漏掉的音補上。開頭漸漸成形──她吹奏的音樂有了活力和感情。

吹完一段之後，她足足停了六秒，似乎在心裡哼唱，一邊按著按鍵。然後，微微前傾，吸氣，開始吹奏。」這段演奏聽起來很糟，根本不是音樂，只是支離破碎、斷斷續續的音符，動不動就停下來，而且錯誤很多。在一般人看來，克萊蕾莎大概永遠也學不會。但學習不能以一般人的眼光來看。

研究人員漸漸看出克萊蕾莎驚人之處，說道，她心中似乎有一份藍圖，不斷和自己比對。她會用完整的概念處理樂曲，同時能聽見自己的錯誤，然後修正。研究人員說道：「此刻價值百萬。」科伊爾指出：「這不是普通練習，而是一個高度專注、聚焦於錯誤和修正的過程。克萊蕾莎在成長、創建。旋律愈來愈清晰、連貫了，她也出現新的特質。」

就書中討論的各個案例，科伊爾論道，學習者「利用大腦神經機制，以有目標的練習模式來培養技能，不知不覺進入加速學習狀態。這種狀態雖然無法保留，然而如果能掌握竅門，就能進入這種狀態。簡而言之，他們破解了天才密碼。」

高效能學習的一個特點就是會出現錯誤、碰到困難，歷經這些考驗之後就能從新手變成專家。這和大腦研究的結果一致：也就是人在犯錯、掙扎時，大腦的活動比較顯著，如果做得正確無誤，大腦活動則比較少。不幸的是，大多數人都認為自己應該盡量做對，如果犯錯，那就糟了──殊不知對大腦而言，錯誤正是最好的刺激。

多角度學習，促進大腦連結

愛因斯坦或許是最典型的「天才」。他擁抱錯誤，而且以特別有成效的方式來學習。在愛因斯坦的名言中，我最喜歡的幾句如下：
．如果一個人從未犯錯，表示未曾嘗試新的東西。
．其實，關鍵不在我的聰明才智，而是在我鑽研問題的時間。
．我沒有任何特別的才能。我只是擁有熾熱的好奇心。機會就藏在難關之中。

從這些話來看，愛因斯坦極有可能具有成長型思維，即使在他在世時，「成長型思維」的概念尚未形成。愛因斯坦談到擁抱挫折、長時間的堅持、好奇、不要怕犯錯，而且拒絕有關才能與天賦的成見。

愛因斯坦會用圖形思考。他常說，他所有的想法都源於圖形，而且一直努力把圖形概念轉化為文字和符號。由於愛因斯坦對科學有長遠的影響，無怪乎世人皆認為他是「天才」。他沒有今天的工具和技術，但他猜想黑洞會互相環繞，並把時空扭曲成向外擴散的重力波。

一百年後，《國家地理雜誌》描述的「巨大計算能力」才證明愛因斯坦的假設是正確的。儘管愛因斯坦有這麼偉大的成就，這樣的成就並非來自天賦或特別的才能，而是奉獻、孜孜不倦的研究和圖形思考。愛因斯坦對學習與人生皆不設限，這種態度有助於他研究的一切。

根據二O一七年五月《國家地理雜誌》刊登的一篇文章〈天才的要素〉（What Makes a Genius?），科學家曾研究愛因斯坦的大腦切片，看他具有哪些特質。二O一三年，費城的馬特博物館（Mutter Museum）收購了四十六片愛因斯坦的大腦切片樣本，放在館中展覽，以滿足民眾對天才大腦的好奇心。很多參觀者盯著愛因斯坦的大腦，實在看不出個所以然來。

考夫曼（Scott Barry Kaufman）領導想像力研究所（Imagination Institute）的一個團隊則是研究活人的大腦。他們募集各領域的頂尖好手，觀察這些人的大腦。結果發現，這些人大腦不同區域之間出現比較多的主動連結，兩個大腦半球之間的交流較多，思考也比較靈活。腦部各區域的頻繁溝通就是他們大腦的特點，但這種溝通不是與生俱來，而是透過學習發展出來的。

數學重靈活，不必拚速度

數學並非一門講求速度的科目。諷刺的是，學校重視解題速度，如果學生解題速度不夠快或有解題壓力，就認為自己未來與數學或科學無緣。其實，有些偉大的數學家對數字反應不夠快，處理數學問題也很慢。他們之所以慢，是因為他們的思考細緻而深入。

近年來，有些全世界最偉大的數學家，包括榮獲菲爾茲獎的史瓦茲（Laurent Schwartz）和米爾札哈尼都曾公開表示自己是思考慢的人。史瓦茲在獲得菲爾茲獎後，出版了一部自傳，提到他在求學時代由於反應很慢而覺得自己很笨。

他說：「我總是懷疑自己的智力。我覺得自己不夠聰明。我小時候不聰明，現在還是一樣。我的思考很慢，得花很多時間才能完全了解、掌握一些概念。十一年級結束時，我暗自認為自己是個笨蛋。我一直很擔心這點。現在，光是一個問題，我還是得琢磨個半天……升上十二年級之前，我衡量情況，得到一個結論：速度和智能沒有一定的關係。重要的是，是否能深入了解事物及事物之間的關係。這才是聰明才智。反應快慢其實沒那麼重要。」

我在學生時代反應很快，但老師反而生我的氣。記得十年級數學老師在開始上課時會先在黑板上寫下八十個題目。老師一邊寫，我一邊飛快解題，等她寫完，放下粉筆，轉過頭來面對我們時，我已經做完所有題目，把試卷交給她。

看我做這麼快，她總是擺出一張臭臉。有一次，她對我說，我做這麼快，完全是為了跟她作對（我實在不明白為什麼她會這麼想）。接著，她仔細看我的解答，希望抓到我的錯誤。但我不記得我曾出錯。如果過去的我有今天的知識，我希望告訴她，我能做這麼快，是因為那些題目用不著複雜、深入的思考─雖然這麼說或許也不會有什麼好的結果。

那時，我題目做得飛快，因為我以為速度是最重要的。在古老的學校系統，好幾百萬的學生都認為「學習成就」與「速度」息息相關。幾十年後的今天，我才知道不能只重視速度，該用不同的方法來學習。我不再追求解題速度。對我而言，深入、有創意的思考才是最重要的。這樣的變化對我有很大的幫助。

現在，不只是數學思考，科學或科技文章及研究工作也能讓我獲益良多。學習方式的改變引燃我對學習的熱情，因而能幫助別人破解迷思，追求理解、創造力與連結。

多吉醫師說道，如果一個人學得快，或許能強化已有的神經連結，但這種連結「來得容易，去得也快」。這就是為何考試前一天臨時抱佛腳，在短時間內硬塞很多新東西到腦子裡，但一考完也差不多忘光了。比較永久的大腦變化來自大腦新結構的形成──包括神經連結與突觸的萌生。這個過程終究需要時間。

多吉醫師提到一個關於點字學習的研究。研究人員發現，較快的大腦發展會立即開始，但是更慢、更深、更永久的發展則需要比較長的時間，而後者的學習效果才能持續到幾個月之後。多吉醫師建議，如果身為學習者的你感覺自己的心靈像個篩子，沒能學到東西，你還是得繼續下去，時間久了，必然能增進學習的深度和效果。

「烏龜」學習一種技能似乎需要比較長的時間，不像「兔子」學得那麼快，但兔子如果不持續練習、鞏固學習成果，已學會的東西還是會忘記。

六把學習金鑰

陽光燦爛的一天。我在聖地牙哥博物館前駐足片刻，欣賞廊柱光影亮暗交替，接著準備上台演講。走上演講廳台階之際，一陣興奮震顫穿過我全身。演講廳座無虛席，皆是醫療專業人士。我的演講對象通常是教師和家長。我不知道我的新發現能否引起這群聽眾的共鳴。他們會欣賞我提出的理念嗎？

其實，我用不著擔心。這群醫療人員的反應和很多聽我演講的學生和教育者一樣熱烈。就這次的聽眾而言，大多數人都覺得驚奇，有些人深受震撼，所有人都能了解腦科學研究與自己工作的關聯，甚至能用新的角度來看自己。演講結束時，有位職能治療師跑來跟我說，多年前她本來主修數學，後來覺得太難，就放棄了，認為自己沒有數學方面的才華。她提到她因為被錯誤觀念誤導，無法了解自己的能力，深陷痛苦，恐懼畏縮。她相信大多數人也跟她一樣，認為自己能做的有限。

但是，如果事實恰恰相反，我們能夠學習任何東西呢？如果我們在這一生真的能持續不斷的改變專長、往不同的方向發展、形成不同的身分呢？如果我們每天醒來，腦子都能煥然一新呢？本書將提出證據，證明大腦和人生都具有令人驚奇的可塑性。如果你能完全擁抱這樣的知識，用新的方式來生活、學習，就會有不可思議的結果。

幾乎每天我都會發現有人對自我及學習抱持有害的想法。這樣的人不分性別，來自各個年齡層，各行各業的人都有。他們的經驗如出一轍──本來喜歡數學、藝術、英文或某個學科，後來碰到困難，認為自己沒有那個方面的才能，於是就放棄了。

以放棄數學的人來說，他們放棄的不只是數學，還有所有的相關領域，如科學、醫學和科技。同樣的，如果有人認為自己當不了作家，也可能放棄所有的人文領域。又如，有人認為自己沒有藝術天分，就放棄了繪畫、雕刻等藝術。

每年，有好幾百萬兒童在踏入學校之初，為了即將學到的東西興奮不已，然而他們很快就發現自己不像別人那麼「聰明」，因而飽受挫折。成人也往往認為自己不夠好，聰明才智比不上別人，因此決定放棄夢想。不知有多少人一踏入會議室就焦慮起來，深怕被人發現自己知道的東西不夠多。

這些限制的想法來自於我們內心。這樣的想法通常是別人或學校給我們的錯誤訊息引發的。我遇見很多孩子和成人，發現他們的人生因為錯誤的想法而受到限制，因此我決定寫一本書來破除這種自我設限的迷思，並提出一種生活和學習的新方式。

很多人都聽過老師或父母這麼說：「你沒有數學腦袋」、「你英文不行」或是「你沒有藝術方面的才華」。師長出自好心告訴孩子，他們學的東西「不適合他們」。聽到這樣的話語時，有些人還只是孩子，有些人則是在大學修習某些科目，或是為了工作第一次接受面試時聽到這樣的意見。有些人直接被告知，他們沒有某種潛力，還有一些人則認為他們能做什麼、不能做什麼是受到文化因素的影響。

如果你能學習本書闡述的新科學，並掌握六把學習金鑰，大腦運作的方式就會出現變化，你也會跟著改變。這六把金鑰不只會改變你對現實的認知，甚至能扭轉現實。因為一旦你開始發揮潛能，就能掙脫束縛，自由自在的生活，克服大大小小的人生挑戰，締造成就。我在本書分享的新科學對每個人的生活都很重要。不管是教師、領導人或學習者，這種新訊息帶來的轉變將有深遠的影響。

我是史丹佛數學教育學系教授，過去幾年和腦科學家密切合作，希望把神經科學的知識納入我對教育和學習的知識當中。我經常與人分享本書的新知識，請他們用不同的角度來看問題，也改變他們對自我的想法。近幾年，我都把心神放在數學教育的問題上。非常多老師、學生和家長都對數學這個學科抱持有害的想法。關於數學能力（及其他能力）的成見，已在美國及全世界引發數學焦慮。很多孩子都認為數學能力是一種天賦，有人天生就有「數學腦筋」，有人則否。一旦他們在學習遭遇困難，就認為自己能力不足。這種成見影響好幾百萬人。

根據一項研究，參加產學合作計畫的年輕人當中，48%都有數學焦慮，其他研究也發現，在大學上數學概論的學生約有50%因為數學不好而倍感挫感。儘管我們很難估算在這個社會上究竟有多少人覺得自己數學不好、沒有自信，我估計至少有一半的人。

現在，研究人員已經知道有數學焦慮的人，一碰到數字的問題，大腦裡的恐懼中樞就會變得活躍，就像看到蛇或蜘蛛一樣。

大腦裡的恐懼中樞愈活躍，負責解決問題的中樞就會變得遲鈍。難怪很多數學不好的人一旦開始焦慮，腦部功能就會受到影響。任何學科引發的焦慮都會對大腦的功能產生不良影響。因此，不管在學校或家裡，我們必須避免會引發焦慮的教學方式，不要繼續傳送錯誤的訊息給孩子，以免讓他們對自己的能力有錯誤的認知。

天大的好消息，人人都學得會！

賴以威，台灣師範大學電機系副教授、數感實驗室共同創辦人

「這樣的數學很好玩吧！」我永遠記得父親對我說這話時，他那滿臉興奮的笑容。
當時我還在讀大學，他是小學退休老師，因緣際會投入數學教育，開發各種有趣的數學教材。我常常就做為他的頭號試教對象。「還不錯啦，但這個就是解方程式可以處理的問題⋯⋯。」

深深留在腦海裡的除了父親開心的樣貌，還有我的一絲不以為然。求學過程中我的數學一直都不錯，我覺得老爸的那套比較像解謎、益智遊戲，對象是小學生可能還沒關係，畢竟小孩子就是玩嘛。但如果以學習來說，恐怕太輕飄飄、太快樂了。真的要學好數學，還是得腳踏實地一點，扎扎實實讀講義、練題目，孤單的跟數字符號正面對決，費盡心力戰勝它們，然後將之收為己用。

如果你跟當時的我有一樣的想法，那你絕對是此書的目標讀者。許多人對學習數學有某種既定的想法，這個想法一部分來自自身經驗，更大部分是整個社會傳承的共同經驗與氛圍。

舉例來說，普遍認為數學需要大量反覆練習、只有少部分人才能學好數學⋯⋯。這本書打破許多類似的刻板觀念，用故事、研究、教學經驗告訴我們，數學其實可以很好玩，也很好學。

破除天賦論

波勒教授畢業於倫敦國王學院，現任教於史丹佛大學教育系，我第一次知道她是從中研院李國偉老師分享的一場TED演講。那場演講中，她講述了數學學習與成長型思維之間的強烈連結。多數人對成長型思維並不陌生，這是同樣任教於史丹佛大學的杜維克教授所提出，其核心概念是指，心態是影響個人學習、成長、終生成就的關鍵因素。有興趣的朋友可以參考《心態致勝》。

波勒教授認為，學習數學就是絕佳的成長型思維實踐場所。因為許多人認為數學講究天賦，甚至男女有別（女生擅長文科、男生擅長理科的刻板印象）。這些剛好就是與成長型思維相反的固定型思維。

做為同校教授，波勒頻繁與杜維克討論交流，證實了她的想法。於是在這本書裡，你可以讀到大量破除「數學天賦論」的案例，從腦科學研究到教學現場，再再證明學好數學與天賦無關。

數學天賦論的想法源自於數學家，數學家所追求的是在抽象數學世界裡探索，證明某猜想、發展某理論，開拓人類的數學知識邊界。這是極其偉大且重要的工作，也因為它的特殊性，就像某些得天獨厚的運動員那樣，擁有特殊的數理天賦會有很大的幫助。

然而，回到教學現場，仔細想想我們並非要培育每個孩子都成為數學家，我們希望的只是學好小學數學、學好國高中數學，能理解且運用一定範圍的數學工具。畢竟在資訊、數據主導的科技世界裡，數學是極其重要的能力。這本書告訴我們，掌握這樣程度的數學，好比說解出一元二次方程式，或甚至算出一段積分面積，是人人都可以學會，與天賦無關的。

多元探索，打破單一視角

聽到這邊，許多父母與老師應該會覺得這真是天大的好消息。但也會懷疑起這是否只是心靈雞湯，畢竟實際看到的，就是很多孩子投入了大量時間，卻依然學不好數學。做為一位學者，波勒教授不只有高談闊論，她實際提出了許多教與學的策略方法，讓大人幫助孩子學習。

這本書講了最精華的幾種方法，例如多元探索：從不同的角度理解一個數學觀念，搭配圖像化、視覺化的操作，就是很棒的學習方式。

她所說的這些觀點，對我來說十分受用。我傳承父親理念後，繼續推廣數學近十年。但起初我自己也不太確定，覺得我們寫文章、辦活動，開發所謂的動手做「數學實驗課」，雖然真的讓很多人看見數學好玩的一面，也有不少孩子長期追蹤下，有著不錯的數學表現。但對課堂學習的幫助到底有多少？

我的專業是電機，這部分一直只能打個問號，或安慰自己「如果他們覺得好玩，至少以後遇到困難時會願意花比較多時間面對」。但自從看了波勒教授的第一本著作《幫孩子找到自信的成長型數學思維》，上過她在史丹佛開的線上課程，還有這本書後，我獲得了與經驗相互印證的學術理論，更確定「玩」是學好數學的重要關鍵。

數學的本質之一是發現規律，最適合做為「探究」、「探索」的學科。學習過程固然需要自己深入思考，但適當的開放、分享自己與他人的觀念，就能像剛剛說的那樣，看見不同的知識面向。比起把時間完全投入在反覆的程序性練習，效果是更好的。

因為數學是紙筆就能學習的科目，過去我們常只重視紙筆的數學學習。紙筆學習或許是一條直徑，但對許多人來說，這條路障礙重重，走起來諸多不易。而多元的活動，明明三言兩語就能講完的觀念，卻變成一整堂課的操作，乍看之下是繞了遠路，但就像市區塞車，我們就會開上高速公路，雖然得走比較遠的距離，但最終更快抵達目的地。

事實上，這幾年，數學教育界也發展出許多活動，例如師大數教中心的奠基模組、洪萬生教授帶領的台灣數學史學會、林口國中李政憲老師的摺紙活動、嘉義大學嚴志弘教授的藝數活動、成功大學舒宇宸教授的數學建模黑客松，還有諸多第一線老師的百花齊放，台灣的數學教育界用實際行動來呼應波勒的理論。

讓下一代學好數學

歷史上發生過許多事，回首過往常讓人覺得有些不可思議，不只是像地心說這樣明顯的科學錯誤，有些比較像是莫名的「社會共識」，例如曾經有一段很長的時間，科學研究對女性來說相對比較不友善。

如同前面提到的，台灣的數學教育界已經邁開腳步，如果能結合本書的理論支持，搭配行政端、家長的支持，說不定到了下一代回頭看，他們會開玩笑說：「以前的人認為少數人才有數學天賦？又不是只能挑一位勇者來拯救世界，明明每個人都能學好數學。」
更希望，他們能同意當年父親所說的話：「沒錯，數學真的很好玩。」

在數學教育現場，最大的困難是矯正學生（有時也有家長）對數學學習的迷思。本書許多內容就是針對數學的學習與教學的探討與改進，除了對老師與學生的訪談與實證，也有腦神經在生理上的印證。值得閱讀並深思的一本書。

──任維勇，北一女中數學科教師

作者從認知科學成果鑄造出的六把金鑰，有力的破解了學習數學時的迷思。其實大腦在克服困難與糾正錯誤中會持續發展，而那些降低學習數學障礙的方法，也適合用來處理生活上的難題。本書值得所有學生、老師、家長仔細閱讀。

──李國偉，中央研究院數學所兼任研究員

我求學時期數學成績欠佳，我長久以來認為，我缺乏數學細胞。這樣的想法只有壞處，甚至是不正確的想法，過去從卡蘿．杜維克提倡的「成長型思維」可見端倪，如今裘．波勒出版這本書，更證明「人是可以改變的」，有助於我教孩子數學時，我的信心與正向信念。

──李崇建，作家、教育家

要培養孩子「成長型思維」最好的方式，就是學習數學。而這本書給了六把金鑰，從大腦、連結、信念等，看見每個人都可以有成長型思維，都能不斷前進，在數學裡享受思考的樂趣。教育工作者，不容錯過。

──林怡辰，閱讀推廣人

透過大腦的神經可塑性，史丹佛數學教育家波勒博士提出了錯中學習、心態改變、感官連結、多元思考以及人際合作等實用學習技巧。以腦科學為依據，讓你相信自己、釋放被束縛的潛力！

──謝伯讓，腦科學家、《大腦簡史》作者

波勒是罕見、了不起的教育家。她不只了解偉大的老師是怎麼教的，也知道如何讓人成為偉大的老師。

──卡蘿．杜維克（Carol Dweck），《心態致勝》作者

波勒是當今最有創造力和創新精神的教育家。本書結合尖端大腦科學與她多年的教學經驗，不只證明每個人都有無限潛力，也告訴我們如何施展潛力。

──蘿琳．鮑威爾．賈伯斯（Laurene Powell Jobs），公益組織愛默生基金會創辦人

波勒是無所畏懼的自由思想家，給予我們學習的新理念。

──《書目雜誌》

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