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讀幾何碰到困難，沒地方問，問數學博士就對了！
數學博士是為你量身訂做的家庭教師。
理昂和蘿倫是兩位中學生，他們經常寫信向「數學博士」請教問題，都是學習初等幾何的學生覺得疑惑、課堂上卻得不到滿意講解的問題。「數學博士」很有耐心的見招拆招，幫助理昂和蘿倫一步步窺見多采多姿的幾何世界。
「數學博士」何許人也？他們是美國卓克索大學數學論壇網站的三百多位答題志工，由全球各大學數學系的菁英組成，平均每個月回答來自世界各地的9,000個數學問題。十幾年來累積的數學題庫與精彩解答，已經超過1,200萬張網頁，堪稱全球數一數二的數學教育資料庫。
卓克索大學數學論壇網站有感於其中的初等幾何題庫，已充分反映出中學生的學習困境，是一般教師和家長難以周全解答的題目，因此很有系統的精選最有代表性的69道問題和詳細解釋，出版這本《搞定幾何！》，透過理昂和蘿倫與「數學博士」一問一答的形式，希望幫助中學生及師長掌握初等幾何的重要課題。「數學博士」很有自信的說：你不太可能找到比《搞定幾何！》更好的幾何入門書！
數學博士說……
第1部 二維幾何圖形
1. 點、線、面
2. 角
3. 三角形
4. 四邊形網路習題
第2部 二維幾何圖形的面積與周長
1. 面積與周長
2. 面積的單位
3. 平行四邊形及梯形的面積與周長
網路習題
第3部 圓與π
1. 圓周率與圓的度量
網路習題
第4部 三維幾何圖形
1. 多面體
2. 柏拉圖立體
3. 表面積
4. 體積
5. 立體的展開圖網路習題
第5部 對稱
1. 剛體運動：旋轉、反射、平移與滑移反射
2. 對稱
3. 對稱線
4. 嵌鑲網路習題
附錄A 幾何圖形
附錄B 名詞解釋
附錄C 誌謝
餘角（complement angle）與補角（supplement angle）
親愛的數學博士：
我們在學校裡，老師提到什麼餘角與補角。我根本不知道它們是什麼意思。今天的隨堂測驗裡有一題，要求出C的餘角。我根本不知道該從哪裡下手。另外有一題，要我們求三角形的第三個角，它的兩個角是x度與x－10度之類的。你能不能稍微說明一下？
敬祝 大安 蘿倫
親愛的蘿倫：
你的問題出在「餘角」與「補角」這兩個名詞上。如果不特別把它們記住，單從字面是看不出意思的。
那麼，究竟什麼是餘角，什麼是補角呢？
如果你把兩個角靠在一起，它們合起來剛好是90度，構成一個直角，我們就說這兩個角互為餘角。
如果兩個角靠在一起，加起來正好是180度，那麼這兩個角就互為補角。
我們舉幾個例子，說明餘角與補角：
30度與60度，2度與88度，14度與76度，都是互為餘角。30度與150度，2度與178度，14度與166度，都是互為補角。
因此，你要記的是，什麼角加起來是90度，而什麼角加起來是180度。該怎麼記住這兩個名詞呢？我建議你從一句俗話去記憶：「比上不足，比下有餘」。180度比90度大，所以180度是「上」，90度是「下」。比「上」「不足」，就需要「補」足，才會完整，所以加起來180度是補角；比「下」有「餘」，那麼加起來90度當然就是餘角啦！
如果你知道兩個角互相是餘角或補角，那麼只要知道其中的一個角，另一個角就自動跑出來了。怎麼會呢？
這樣吧，假設他們是補角，那麼兩個角加起來應該是180度。
這個角 ＋ 那個角 ＝ 180度
因此，
這個角 ＝ 180度 － 那個角
且
那個角 ＝ 180度 － 這個角
如果談的是餘角，關係也是一樣的，只要把180度改成90度就行了。
因此，當你看到這段陳述「（某個角）的補角」時，你可以立刻把它轉換成「180度－（某個角）」。這裡的某個角，可以是特定的數值，譬如說26°，則
26°的補角＝（180°－26°）
這樣，你會得到一個數值。但是如果你沒有數值，只有一個變數，像是x，或是一段表示角度的陳述，像是x－10，也沒有關係。只要把這個變數或這段陳述，代進式子裡的相關位置就行了。例如：
（x°－10°）的補角＝〔180°－（x°－10°）〕
注意，你要把有關角度的陳述，用小括弧或中括弧代進去。但是在解開括弧的運算過程時，要特別小心。否則可能會出錯。例如：
〔180°－（x°－10°）〕 並不等於 （180°－x°－10°）
（180°－x°＋10°） 並不等於 （180°－10°－x°）
（190°－x°） 並不等於 （170°－x°）
我們學餘角或補角做什麼？餘角、補角有什麼用處？
因為在幾何裡，我們常把圖形分割成三角形，再來研究。這樣會使問題簡單得多。而三角形的三個內角，加起來正好是180°。因此，如果我們知道了三角形的兩個角，則第三個角正是這兩個角加起來之後的補角。
最容易處理的三角形是直角三角形。它有一個內角是90°，因此另外兩個角加起來，就是90°，彼此互為餘角。所以，如果你知道直角三角形的一個銳角，那麼另一個銳角就是已知角的餘角了。
── 數學博士，於「數學論壇」
Ex：面積、表面積與體積公式
親愛的數學博士：
我很難記得住幾何公式。假設你有個罐子，你知道它的半徑，想計算它的體積。你怎麼知道自己計算出來的數值是對的，你計算的不是它的表面積？
敬祝 大安 理昂
親愛的理昂：
有個很簡單漂亮的答案，可以回答你最後的那個問題，雖然它似乎不能回答所有的問題。假設你依稀記得有一個與圓柱有關的公式，叫做πr2h（π乘上半徑的平方乘上高），也記得似乎還有一個公式是2πrh（2π乘上半徑乘上高）。只要看看公式裡的維度，就知道哪個是求面積，哪個是求體積了。
假設上面那個例子，半徑是5公分，高是8公分，而我們用3.14當做π的近似值。則第一個公式：
πr2h ＝ 3.14（5 cm）2．8 cm
＝ 3.14．25 cm2．8 cm ＝ 628 cm3
你有沒有看到我如何處理單位？就把它像數值一樣對待。最後的答案裡就會出現單位來。現在，我們得到的答案，單位是cm3，因此它是個體積。
同樣的，我們來試試第二個公式看看：
2πrh ＝ 2．3.14．5 cm．8 cm
＝ 6.28．40 cm2 ＝ 251.2 cm2
我們得到的答案，單位是平方公分，自然是個面積啦。
通常，你只要計算公式裡有多少維度就行了。在r2h裡，出現了三個維度，因此它是個三維的量，代表體積。而在rh公式裡，只出現兩個維度，所以是面積。
最後，學習公式的最好方法，是知道它是從哪裡來的。你或許不容易自己算出與球體有關的公式，但圓柱的公式很簡單就可推導出來。圓柱側面的表面積，只是底部圓的圓周（2πr），乘上它的高度（h）。只要把圓柱在桌上滾動，把它的側面攤開成一個長方形就是了。至於圓柱的體積，與長方柱體積的算法一樣，也是底面積乘高度。只要把圓柱底的圓面積（πr2）乘上高度（h）就行了。
至於該怎麼記憶這些公式？我建議你把所有幾何公式寫成一張表，找出彼此之間的關係。我剛才告訴你的，是怎麼把圓與長方形的公式，用在圓柱形。你愈能發現這一類的關係，愈好。你會發現一些平時很少注意到的、不太明顯的關係，像球與圓錐之間，就存在很有趣的關係。
與公式交朋友吧，它們會把一些私人祕密透露給你。
── 數學博士，於「數學論壇」
摘自《搞定幾何！》
這是一個正方形。如果你告訴我，它的邊長是兩個長度單位的話，那我可以告訴你，它的對角線距離（就是從A到C，或從B到D）大約是2.828。
確定是2.828嗎？不是的，精確的值應該是2√2。但這還有個前題，就是它的邊長要不多不少，確定是2才行。這樣，對角線的長度才確定是2√2。全世界沒有一把尺，可以量到這麼準確的。所有的度量，都有某種程度的不準確度。
請看看這本書的書頁，邊緣有沒有一些磨損？上面這個正方形，在顯微鏡底下還是正方形嗎？四個角都是直角嗎？假設你看得見紙上的原子，這些原子確實排成一直線嗎？我們用的直尺，不可能精密到這個程度，能做出這種度量的。我們的世界也不存在這麼細緻的邊緣。
或許你會懷疑，如果不可能做出絕對精確的度量，那麼我們是如何建築房屋、製造出可用的機器呢？答案是，我們能找到一種足夠精確的度量方法。如果我的直尺告訴我，一張紙大約有18公分長，那麼我把它對摺之後，得到的長度大約會是9公分。利用捲尺，技術精良的木匠就能夠做出一個正方形的棧台，又平又直。木匠可能不知道，他做出來的棧台，精確度在十分之一公分以內。
那麼，有沒有我們可以精確度量的完美形式呢？有！它們就存在思想裡。就是我們現在要研究的幾何學。幾何學可以應用在真實的世界裡，幾何學的原理使我們能夠在心裡建構一個美妙的世界；儘管真實世界的材料與度量都是不完美的。
這本書將為大家介紹二維世界（平面）的定義和特質。這裡包含了：正方形、三角形與圓形。你將學會：如何應用這些圖形；如果圖形的某一個尺寸改變了，其他的相關尺寸將如何改變。你也會學到一些三維的物體（立體），這些三維物體有哪些特性與二維物件是共通的？又有哪些與二維物件不同？最後，我們會談到一些平面上的圖形模式，特別是對稱和嵌鑲。
在你認識平面幾何之前，早就看到過很多完美的幾何圖形在身邊晃來晃去了。數學博士歡迎你到幾何世界來，學習使用幾何學的語言。
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