結帳
購物車有 0 項商品，共 0 元
中國的農曆是陰曆嗎？
為什麼一星期有7天，二月只有28天？
月份和星期的英文名稱是怎麼來的？
萬年曆需要用到哪些數學？
曹老師（阿草）的《從月曆 學數學》，
要從曆法的故事，告訴你月曆中隱含了哪些有趣又奧妙的數學。
我們的農曆是陽曆還是陰曆？
閏月和節氣是怎麼定的？
為什麼一星期有7天，二月只有28天？
月份和星期的英文名稱是怎麼來的？
萬年曆需要用到哪些數學？
曹老師的生活數學教室，
這回邀請到利瑪竇、徐光啟、小徐、小利，
跟你一起聊聊曆法的故事，
從我們每天都會用到的月曆，
循序漸進的學到隱含其中的數學。
來到曹老師的生活數學教室，
你會發現：
原來月曆中也有這麼有趣又奧妙的數學話題！
序 學曆之旅
第1章 中西曆的對照──徐光啟、利瑪竇對話錄
1.1 復活節是在哪一天？
1.2 利瑪竇的生日不見了
1.3 陰曆月和中氣掛鉤
第2章 各曆的發展──小徐、小利對話錄（之一）
2.1 徐光啟改了曆
2.2 必也正名乎
2.3 曆的變奏
第3章 眾曆的共通──小徐、小利對話錄（之二）
3.1 異中求同
3.2 通曆通樂
3.3 曆就是行事以時
第4章 天之曆數在爾躬──小徐、小利對話錄（之三）
4.1 漢武帝改曆很政治
4.2 武則天建立了新朝代？
4.3 武則天說謊？
第5章 曆的數學──小徐、小利對話錄（之四）
5.1 愈通愈近
5.2 餘數定理
5.3 簡單的數學、複雜的數學
附錄A 《中國年曆簡譜》內容說明
附錄B 萬年曆的製作
附錄C 2001年24中節氣與閏月
2.2 必也正名乎
小徐：利瑪竇說教皇國瑞十三世所頒的新曆，並沒有全面實施開來。
小利：新曆當然比原有的要進步，但科學與政治宗教相爭，注定不容易勝出。開始的時候，只有義大利周圍仍然信奉天主教的國家改用新曆，然後才慢慢擴張出去。英國及其領地一直到1752年才改用新曆。英國曆的歲首原來是3月25日，也就是天使報喜節，改曆後才與天主教國家合流。
小徐：什麼是天使報喜節？
小利：那一天，天使加百利告訴聖母瑪利亞她會生下耶穌。
小徐：英國居然用這個節日為歲首！
小利：英國是基督教國家啊！
小徐：他們可選另外的基督教節慶啊！譬如聖誕節或復活節。
小利：當然都可以，但天使報喜宣示基督的到來，不是很重要嗎？
小徐：說得也是。
小利：東正教的反應也很慢，俄國要到1917年革命後才改曆。所謂的「十月革命」，按照新曆，其實是在11月發生的。另外一件有趣的事：1908年帝俄派代表團到倫敦參加奧林匹克運動會，結果遲到12天，運動會早就過了。原來帝俄忘了英俄兩國的曆相差了12天！
小徐：利瑪竇說，古羅馬曆的歲首要比現在的晚兩個月，所以October原來是第八個月，Octo就是「八」。我看，September、November、December果然分別是第七月、第九月及第十月──從字首就看得出來。那麼其他的月名和月序有關嗎？
小利：原來的羅馬曆每年從March開始，共10個月，之後就進入冬休，沒有嚴格的年曆規範。後來，羅馬曆在第十月December之後，加了兩個月，January及February，所以February是年底。March原來是穀神，象徵春天到了，萬物復甦，開始耕種，後來March的意思轉成戰神。March之後，April、May、June都是神名。但July、August原來叫第五月（Quintilis）和第六月（Sextilis）。凱撒改曆有功，參議院就用他的名字Julius Casear來代替第五月，而稱為July。後來奧古斯都大帝也因改曆有功，把第六月改為August。February的原意為懺悔贖罪節，在本月中舉行。January是天門神，天門神有兩面臉，一面面對過去，一面面對未來。羅馬曆後來把January做為歲首，倒頂有意思的。
小徐：你說奧古斯都大帝改曆有功，他又改了什麼曆？
小利：這和羅馬人的數數目有關。羅馬人說第四天其實指的是3天後的大後天，因為他們說今天是第一天，明天是第二天，後天是第三天，第四天就是大後天。凱撒規定4年1閏，造曆的人就想當然耳把它弄成3年1閏。等到奧古斯都大帝發現這項錯誤，已經多閏了3次。於是，他下令往後該閏的3次都免閏。直到西元8年開始，才確定實施了4年1閏的規定。
小徐：有趣，這就像是植樹問題，兩頭算或不算。哦，對了，陽曆按照一大月一小月排列，為什麼七、八兩月連大？
小利：這也和奧古斯都大帝改曆有關。凱撒曆從March開始，原來是一大月一小月輪流排列，到了January後，剩下29日，就給了February。奧古斯都改曆有功，改第六月為August，但發現它是個小月，心有未甘，就把它也改成大月，September到December的大小也順便倒了過來。但這樣比原來多出了1日，於是又從February拿走了1日──反正，February原來是在年底，就是擺閏日的月份，必要時也可拿掉日子。
小徐：陽曆的大小月排得亂七八糟，月名也古怪，原來還有這番變化。
小利：最近讀到喬志高的《言猶在耳》，有一篇文章說：「1999年3月，美國報紙記載，這一個月中出現了兩次月圓。據說，這個天文現象，每隔33個月就會發生一次，由此產生俗語once in a blue moon，意謂罕見的事。今年特別稀罕的是，有謂『藍月』，正月裡已經出現一次，而一年有兩個月份發生兩次月圓的異象，一百年中最多只會有4次。」我總覺這和閏月有關，是不是？
小徐：這篇文章我讀過，也馬上想到閏月。我要用原來的陰曆合陽曆創造一個新的陰陽曆：把每個陽曆月的最後一日看做一個新中氣，而規定月圓日為新陰曆月的第一日。如此，一個陽曆月若含有兩個月圓，則第一個月圓的那個新陰曆月就不含該陽曆月的最後一日，亦即不含新的中氣，因此根據農曆置閏的方法，這個新的陰曆月就是閏月了。我們知道19年有7閏，19年共有228個陽曆月，所以平均每隔33個陽曆月就會發生一次閏月──在我們類比中，就是發生了「藍月」。
小利：果然可用陰曆置閏的原理來解釋。可是一年內怎麼可能發生兩次「藍月」呢？一年不可能有兩次閏月吧！
小徐：當然，一年不可能有兩次閏月。但是兩次「藍月」確實會發生。主要原因是，我們用以類比的新中氣排列間隔，和農曆真正的中氣略有不同。照我們的排法，從12月31日、1月31日、2月28日（或29日）到3月31日，彼此的間隔為31日、28日（或29日）、31日。所以如果1月發生了「藍月」，很自然3月也可能會發生「藍月」。真正的中氣間隔不會出現31日、28日、31日的情形。
小利：所以一年有兩次「藍月」，一定要發生在1月及3月？
小徐：當然。由剛才的類比解釋，除2月外，其他其實是平氣的類比，所以除2月外，其他11個月成為「藍月」的機會大致相等。19年有7個「藍月」，19×11 = 209年就有7×11 = 77個「藍月」，其中約有7個發生在一月。如此則大約30年有一次一月的「藍月」，所以雙「藍月」，一百年最多只會有4次。
小利：唉呀，很有詩意的「藍月」，卻被你剖析得這麼清楚！
小徐：看了喬志高的文章，我馬上查《中國年曆簡譜》，發現1999年1月2日為陰曆11月15日，1月31日為陰曆12月15日，1月果然是「藍月」。再查，3月2日為陰曆1月15日，但陰曆2月15日卻發生在4月1日。我心中大叫：3月不是「藍月」啊！後來想通了：美國比我們這裡遲了12小時，有可能在它的3月31日就見到了月圓。
小利：沒錯，月圓的日子就像朔日一樣，會因地而有不同。
小徐：突然想起另一個聽來的閏月故事。蘭嶼的雅美族（也稱達悟族）每到春分附近的月圓夜，就駕船出海捕魚。如果正逢飛魚隨黑潮而來，則魚兒在月光照耀下，會跳出水面，閃閃發光，漁人就可滿載而歸。他們在12個月圓後又出海捕魚，但二、三年總有一次看不到魚兒跳躍，於是打道回府，休息一個月，下次月圓再出海。休息的這個月就是閏月了。
小利：這是自然置閏法了。
小徐：農曆把一個月分成上中下三旬。西洋的星期和月亮有關嗎？
小利：最早和月亮的盈虧大概是相關的──月亮的變化大概可分成4個7日。不過一旦約定成7日，那就與月亮無關了，因為月亮的週期無法為4所整除。中國的旬倒是咬定了月亮，犧牲了一旬為10日為一致性，因此下旬有時只有9日。在西方，巴比倫人可能是最早以7日為作息單位的民族。
小徐：星期和上帝以6日創造世界，第七日休息有關嗎？
小利：應該是有關的。上帝創造世界與休息的故事記載於舊約聖經的創世紀。到了出埃及紀，摩西領到十誡，其中第四誡就規定，大家工作6日後，第七日要休息。因此猶太人就有了一星期7日為單位的作息時間表。西元前六世紀，巴比倫人攻占耶路撒冷，強迫猶太人移居巴比倫人所在的兩河流域達60年之久。巴比倫人的作息也是以7日為週期，星期的觀念更是根深柢固。此後，巴比倫人影響了希臘人、埃及人，而猶太人影響了羅馬人及基督教歐洲。星期就大大流傳開來。
小徐：英文的星期各個名字，Sunday、Monday分屬太陽、月亮，Tuesday以下又是什麼來源？
小利：Tuesday就是火星日啊！
小徐：我也懷疑是這樣。日本人叫星期二為火曜日，不過火星不是Mars嗎？
小利：沒錯，火星是Mars，法文稱星期二為mardi。不過條頓人稱火星神為Tiw，英文Tuesday的字源是Tiw。
小徐：原來如此。那麼Wednesday、Thursday、Friday、Saturday分別是水星神、木星神、金星神和土星神啦！
小利：沒錯，條頓人的水星神、木星神、金星神各為Woden、Thor及Freya。倒是土星日Saturday是直接從拉丁文的土星Saturnus轉成的。
小徐：所以一星期各天的命名大致有三種方式：一種是用七個和地球密切相關的星球，也就是中國所謂的七曜來命名；另一種就是用七曜的神名。這兩種都是星之期──「星期」這個詞的來源。再一種就是排序，星期一、星期二、……等等；講到排序，從星期日開始，順序是日、月、火、水、木、金、土。有什麼道理嗎？
小利：這的確是個有趣的問題。如果按照這些星球離地球遠近來排，應該是土、木、火、日、金、水、月才對。第二世紀的羅馬歷史學家卡修斯的說法是這樣的：當時流行的占星術認為，每一段時間總有一顆星在主控。按照星球遠近所排的七曜順序，第1日的第1小時屬土星，第2小時屬木星，……第7小時輪到月亮，第8小時就輪回土星，……依此類推。第1小時的土星同時是第1日的值星，所以第1日稱為「土星日」。第1日的第24小時會輪到火星，第2日的第1小時則依序輪到太陽，所以第2日由太陽值星，稱為「太陽日」。依此類推，第3、4、5、6、7日的第1小時，各由月亮、火星、水星、木星、金星當班。所以七曜日的順序是那樣子的排法就得到解釋了。
小徐：遠近順序是「土木火日金水月」，值星順序是「土日月火水木金」，依照遠近順序從土開始，往下3個就到日，再往下3個就到月，……這樣就得到值星順序。對了，這是24小時的「24」除以7曜的「7」，剩下3的結果。這種說法雖然匪夷所思，但有一貫的數學原理，可算自圓其說。想不到占星術居然主控了我們的日子！
小利：不要忘了，「占星術」（horoscope）這個字的原意就是測時術──測量某時辰某星球的位置，來看它對某人的影響！
小徐：說到占星術，使我想到緬甸的一星期有8天。
小利：一星期有8天？你是說他們用的曆中，有類似農曆的旬？
小徐：不是啦，我說是一星期7天中有8天。
小利：什麼？
小徐：你去到仰光的大金塔就知道了。
小利：願聞其詳。
小徐：東南西北加上東南、西南、西北、東北，不是有8個方位嗎？
小利：沒錯，8個方位，但跟一星期有7天有什麼關係？
小徐：別急嘛！方位和占星術不是有關嗎？星期的名稱原來就是從7顆星而來的，當然也和占星術有關！
小利：是，都有關係——但7和8怎麼湊在一起？這有一點亂七八糟吧！
小徐：緬甸人的傳說中，另有一顆神祕的行星，叫羅日侯（Rahu），所以他們有八曜，而不是七曜。
小利：但一星期還是只有7天啊！
小徐：我說別急嘛！他們把星期三這一天當兩天用，從午夜到中午叫Bohddahu，還是配以原來星期三的水星；從中午到午夜叫做Yahu，配以這顆神祕的行星羅日侯。這樣共有8個方位，8個緬甸天，8顆星。每個方位，配一個緬甸天，配一顆星，而且還配一種動物。譬如你生在星期三的午前，你就和水星有關，和有牙的象有關；水星和有牙象就決定了你的性格，也決定了你與生在其他天的人是否匹配。到大金塔，千萬要到你所屬的方位──正南方，祁福浴佛；那裡有一尊佛、一頭有牙石象。如果你生在星期三午後，你的方位就是西北方。
小利：真有趣！不過星期三的這兩個方位，去祁福的人數就較少了？
小徐：你真有數學頭腦；我也特別注意到，這兩個方位的人潮的確不如其他的方位。
小利：但是要怎麼知道你生日在星期幾呢？
小徐：就看今年的生日是星期幾，每往前回算一年，星期幾就提早2日或1日，這要看是否跨過閏年的閏日。如此往回推算到你出生的那年就好。
小利：這要有相當的耐心。不過如果生在星期三，怎麼知道是午前還是午後？
小徐：那就問父母你的生辰八字了。對了，一個星期到底從那一天開始？
小利：不是星期一嗎？星期的第一天。
小徐：可能是星期日，它可看成第零天。
小利：你知道西洋的習慣，沒有第零年、第零月、或第零日。馬雅人最特別，他們每個月只有20日，而且是從第零日數到第十九日。
小徐：為什麼許多月曆都把星期日擺在最左邊？
小利：這個我也不知道。依據基督教，星期日是給上帝的，是休息日，當然是一星期的最後一日。
小徐：上帝用六天創造世界，第七日休息了，這是舊約聖經說的。猶太人也在第七日休息，但他們的安息日卻在星期六。所以星期日是猶太人一星期的第一日。啊！難道月曆都是猶太人製作的？
小利：安息日叫做Sabbath，它的字源的確與「七」有關，譬如教授每七年可休假一年，休假年就叫做Sabbatical year。對猶太人而言，一個星期的確可認定是從星期日開始的。回教徒則以星期五為安息日，人們的星期從星期六開始。但基督教卻認定從星期一開始。中文採用星期一、星期二、……等，一定是接受基督教的想法。
小徐：現在幾點了？
小利：嗯，還有1刻鐘到5點。
小徐：時間還算早，還可再談談。你們西方為什麼喜歡說「還有1刻鐘到5點」，而不說「4點45分」？
小利：我想是西方人承繼羅馬人的習慣，快到要計數的數目前，喜歡倒著數。譬如羅馬人把19說成「20減1」，把4寫成「5減1」。
小徐：就像火箭發射之前，從10倒著數到1後，發射。
小利：不過我們不會把4點半說成「還有2刻鐘到5點」。
小徐：為什麼你們要說成1/4，a quarter，而不說15分鐘呢？
小利：1小時的1/4就是15分鐘，不是嗎？我們喜歡用二分法，譬如1/2英寸、3/4英寸、half passed four是4點半，three quarters of an hour是3刻鐘。
小徐：我記起來。我看過你們的門牌號碼有57 1/2，也有57 3/4的，是不是就像我們這裡的57號之2，57號之3。
小利：完全正確。
小徐：我們比較喜歡10進位。從前我們把1日分成100刻；1日有1440分鐘，所以1刻相當於現在的14.4分鐘，而不是15分鐘。
小利：難道我剛剛說：「還有1刻鐘到5點」，錯了？
小徐：沒錯沒錯。自從接受了西方的時分秒制，我們就認定1刻是15分鐘。
小利：古時候你們的一天分成幾個小時？
小徐：12個時辰。
小利：時什麼？
小徐：時辰。時辰的意思是太陽所在的位置。最初中國人注意到的是，一回歸年大約有12個朔望月，於是就把黃道分成12個方位，使得太陽所在的方位大致與陰曆月份可以對應起來，因此用12個地支來表這些方位。一天內的時間則與太陽在地球上移動到的方位有關，而此地球上的方位雖與黃道上的方位是兩件事，但就借用了12地支來表示。不同的方位代表不同的時間，這就是12時辰的由來。
小利：在西方，故事也差不多。古代，白天就用日晷來定時間，而日晷通常畫成12個方位，所以白天有12個小時。後來覺得晚上的時間也需要分割，就一樣分割成12小時。嗯，你們的一個時辰相當於我們的兩個小時。
小徐：不錯。我們的時辰用地支標示，子時指的是夜晚11時到凌晨1時，丑時是1時到3時，其餘類推。生辰八字包括了出生的時辰。
小利：原來如此。不過，你剛才說過，古時候你們把一天劃分成100刻，那麼一個時辰就不能含有整數個數的刻了？
小徐：不錯，這是兩個不相屬的分割系統。晚上看不到太陽，就用水鐘計時，水鐘上的刻度代表時間，而刻度用10進位等分割較方便。
小利：對了，用日晷很難把時間等分割。白天1小時的長短會隨季節不同，在西方稱為季節時（temporal hour）。在西方也一樣，等到水鐘、沙漏通行了，時間的分割才漸漸走向等分割。不過，刻（quarter）是小時之下的分割。
小徐：必也正名乎，今天真的學到不少！我們再續杯，叫點蛋糕。
曹亮吉
2000年2月，大學入學考試中心學科能力測驗數學科有這麼一個題目：
今年（公元2000年是閏年）的1月1日是星期六。試問下一個1月1日也是星期六，發生在公元哪一年？
見到這個題目，我想是個送分題，想上大學還不會？但是這次考試的統計資料，讓我大吃一驚：答對率只有18％，平均5個考生只有1個會。
2000年2月29日早上醒來，一看手錶，日期居然是3月1日。錶的設計者是怎麼想的？1996年2月29日，我的錶的確是2月29日。可見錶的設計者的確考慮到閏年；如果他認為每4年要閏一次，沒有例外，那麼2000年我的錶就會閏的。事實是沒閏，設計者一定知道千禧閏不閏是個問題，但他還是弄錯了。
顯然大多數人對曆的ABC還是不太清楚，更不用說去欣賞曆之有趣的文化背景。由此，我想起了我的學曆之旅……
◎踏進曆的世界
1979年初，為了教微積分，閱讀華羅庚（1910-1985）的《數學分析導引》，想找些教材。想不到其中與微積分不直接相關的連分數題材，倒吸引了我。書中說明了連分數的簡單理論，並舉陽曆、陰曆、陰陽合曆中的幾個複雜的常數為例，用了簡單的分數來代替。
我向同事朱建正教授提起了曆的數學，他介紹了高平子（1888-1970）所著的《學曆散論》，說可向中央研究院數學所索取。就這樣，我從曆的ABC，進入了曆的數學，也進入了曆的文化史。
那一年開始，我為《科學月刊》雜誌再度寫＜益智益囊集＞專欄，介紹通識的數學。該年的6、7兩月，各有一篇曆的文章＜一年有幾日＞，與＜魚也要，熊掌也要＞。第一篇文章介紹了曆的ABC，以及一點點DEF，第二篇則介紹如何用連分數的觀點看曆的設計，提出製曆者要在簡單與精確之間做適當選擇的窘境。主要的參考資料就是《學曆散論》，華羅庚的《數學分析導引》，還有大英百科全書中關於曆法的部分。
1985年10月15日下午四點半，在台大正門口羅福路地下道入口處，遇到了中央研究院計算中心的謝清俊教授。他說他們正想做中西曆對照的程式，而已有的資料僅能準確到月份，希望能做到日日對照。他正想找我，問我有無妙方。我答應他兩個星期後，到中央研究院計算中心，給一個不公開的演講，談曆法的入門，共他們參考；不公開，因為我自己也才是一個入門漢而已。
我利用這兩個星期，找來一些與曆法有關的文章或書，拚命惡補一番。包括許倬雲（1930- ）的＜殷曆譜氣朔新證舉例＞（含於《求古編》中）、朱文鑫（1883-1938）的《曆法通志》、陳垣（1880-1971）的《二十史朔閏表》與《中西回史日曆》，以及董作賓（1895-1963）的《中國年曆總譜》。當然這些文章或書，我不可能全看，看過的也有很多不懂的地方，不過到底讓我寫成了演講的內容大綱：甲、曆法的原罪；乙、曆法的演變；丙、陽曆的結構；丁、回曆的結構；戊、陰陽合曆的結構；己、中國農曆的演變；庚、中國農曆的置閏原則；辛、中國農曆其他注意事項；壬、中西日曆對照。
最開頭一節的原罪指的是，回歸年365.2422日，朔望月29.5306日，兩者相除一年有12.368……月，都不是簡單的整數；為了處理不簡單的小數，曆才變得有點複雜。最後第二節談的是干支紀日、改曆頻繁的原因、還有平朔、定朔、平氣、定氣等。最後一節中西日曆對照介紹儒略紀日，及對照時應注意的事項。
10月28日到中研院演講，過程順利，會中以及會後也有不少討論。離開中研院，我獨自到對面的胡適公園，看到了董作賓的墳墓，心中一震，因為那幾天在台大總圖書館，讀了他的巨著《中國年曆總譜》，實在獲益良多。後來在藝文出版社，買到他的《中國年曆簡譜》，到現在都還時而翻之，其樂無窮。
◎曆法──文化活動中的數學
1996年，我為遠哲科學教育基金會，寫通識教育系列的第一本書《阿草的葫蘆》，內容是文化活動中的數學，其中有一章＜十九年七閏＞，介紹的當然是曆，但內容添加了不少文化氣息，譬如陽曆月份的命名、歷史事件之干支紀年、及與其相應西元紀年之間的換算，還有生肖等。也借用曆法說明，數字可用以標量、標序，或做為標籤之用。
翌年3月12日，應東吳大學之邀，為其雙溪文化講座「知識與文化」演講《我的學曆散論》，內容包括本文到目前所寫的，更提到許多與曆有關的歷史事件，如漢武帝的改曆，從改曆的觀點看武則天的周朝，還有利瑪竇與中西曆的關係。利瑪竇（Matteo Ricci, 1552-1610）的老師克拉維爾斯（Christopher Clavius）參與西洋的改曆（改成現製的陽曆），利瑪竇來華與徐光啟（1562-1633）訂交，與他同譯克拉維爾斯評注的幾何《原本》（Elements）前六冊，成為中文的《幾何原本》，並促成他參與明朝的改曆。
1999年大家為電腦的千禧蟲而緊張，並追尋新世紀第一道曙光而興奮。千禧年是新世紀的開始，還是舊世紀的結束？許多有關曆的書就冒出來了，譯成中文的有《我的生日不見了》（A. Shimong, Tibaldo and the Hole in the Calendar）、《抓時間的人》（ D. E. Duncan, Calendar），還未看到譯成中文的有E. G. Richards的Mapping Time、J. E. Barnett的Time's Pendulum，以及C. Blaise的Time Lord等。
讀了這些書，我的曆功從ABC、DEF進步到GHI。另一方面，2000年2月發生了本文開頭談到的考試與手錶、那兩件不可思議的事情之後，要寫一本多方位、有關曆的書，這種想法漸漸在腦海中醞釀起來。
◎從利瑪竇與徐光啟的相遇開始
要怎麼安排這本書的內容呢？曆法是有點複雜的，而我鎖定的讀者對象就是一般的大眾，所以我得循序漸進，而且通識有趣。有一天散步經過大安公園，突然想到，應該從利瑪竇和徐光啟的會面開始，這樣可簡單介紹中西曆的對照，以引起讀者的興趣。我立刻去查他們第一次會面的年代，結果是1600年──真是上上籤！1600年正是西方改曆後第一次碰到的問題年，和2000年一樣有閏不閏的問題，以及是否為世紀末或新世紀初的問題。於是我以日有所思、夜有所夢的賴皮方法，寫下他們會面對談的私人版紀錄。本書的第一篇很快的就定了稿。
往後要怎麼寫呢？最後決定把場景拉到400年後，新舊世紀交替之際，還是借助兩個人的對談，廣泛探討曆法的各種層面，包括各曆的發展、眾曆的共通、天之曆數在爾躬，以及曆的數學。對話的好處是可以腳把步放慢，把許多重點逐步說明與澄清。對話的主角是誰呢？我請兩位年輕人擔綱，一位在國內完成大學教育，然後飄洋過海、沾點洋墨水，又回來在大學教書；另一位是小留學生出身，洗過洋墨水澡之後，又回到出生地方來，想深入學習本地文化。為了方便，姑且稱前者為小徐，後者為小利。
古代的數學家大都是研究天文曆算出身的，現代的數學家很少涉及天文的研究，更是曆法的門外漢。我靠著因緣才得以學曆，然後借著讀書、演講、寫文章──寫短文、寫書中的一章，到寫一本書，把學曆的心得一再結構，一再擴大。這就是我的學曆之旅。不過必須聲明，於曆我雖有心得，但到底只是以業餘的興趣待之，而絕不是專家──與古代的數學家相比，是夠諷刺的。
——2001年6月於台北
天下文化不會主動以電話等方式，告知您因訂單錯誤或分期付款等原因，需要您親自到ATM操作修正， 或請您提供往來銀行電話、信用卡資料；亦不會以 「問卷」或「中獎」形式通知您提供個人資料或要求匯款， 若您接獲此類可疑電話，請與我們連繫確認或撥打165警政專線求證，以確保權益。請勿聽從任何指示到提款機(ATM)做任何操作。
退換貨說明：
