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數學就在你身邊
大家都認為數學很重要，可是也害怕數學，甚至常常質疑為什麼要學那麼多生活中用不到的數學！真的是這樣嗎？曹老師的《從生活 學數學》，以「學、說、算、變、看、想」為題，用實際的例子，帶你從路標、世足賽、氣象報告、藝術裡，認識你身邊的數學。
大家都認為數學很重要，
可是也害怕數學，
甚至常常質疑為什麼要學那麼多生活中用不到的數學！
數學真的如大家想的，這樣遙不可及嗎？
曹老師的《從生活 學數學》，
以「學、說、算、變、看、想」為題，
借用發生在你我周遭的實際例子，
帶你從生活中「學」會看到萬事萬物背後的數與形，
深究亂七八糟、不三不四等等跟數學有關的「說」法，
教你如何估「算」，
思考「變」與如何應變的代數問題，
用一點數學眼光「看」都市街道，
「想」清楚你說的話是否合乎邏輯。
來到曹老師的生活數學教室，
你一生受用不盡！
序 數學就在你身邊
第0篇 學篇——學什麼、怎麼學
0.1 人是尋求規律的動物
0.2 從規律到胚騰
0.3 問路
0.4 尋根
0.5 成績單的學問
第1篇 說篇——說什麼、怎麼說
1.1 1、2、3……
1.2 向前看，怎麼解？
1.3 雞同鴨講
1.4 分門別類
1.5 舉一反三
第2篇 算篇——算什麼、怎麼算
2.1 現代的覺者
2.2 焦點新聞數字
2.3 差不多先生的一天
2.4 去零術
2.5 八分之七等於一
2.6 潛在的無窮
第3篇 變篇——變什麼、怎麼變
3.1 代數思維的核心
3.2 類化的系統
3.3 關係的類化
3.4 數學模型
3.5 等比的世界
3.6 音，調對了嗎？
3.7 頻率的平均
第4篇 看篇——看什麼、怎麼看
4.1 找路
4.2 登高遠眺
4.3 台灣的面積
4.4 左邊的路給誰走？
4.5 孿生的左與右
4.6 對稱
4.7 帶狀裝飾
第5篇 想篇——想什麼、怎麼想
5.1 數學是一種語言
5.2 集體與個別之間
5.3 人皆有死
5.4 混水可摸到魚？
5.5 0與1之間的選擇
5.6 挑戰約定，突顯特色
延伸閱讀
一般人學數學到底要學什麼呢？從實用的觀點來看，答案是學會算術計算，及一點點的幾何與代數。在考試至上的氣氛薰陶之下，答案是背誦及套用公式，做各種（複雜）的計算。近年來，想法漸有改變，認為學會尋求數與形的規律及過程，是學習數學的主要目的。
從「尋求數與形的規律」，可往兩個方向延伸。規律是規則與定律，是嚴格的，無例外的。然而通性、風格、式樣、花樣、大要、樣式、形態、圖樣、結構、特色、模式等等，多多少少有規律可尋，可視為廣義的規律，其實也可以是學數學所要學的。廣義的規律，我們稱之為「胚騰」。
另一方面，天地之間的萬事萬物，莫不隱藏有數與形，及數與形的胚騰。把學習數學的眼界，從純粹的數與形，以及狹義的規則與定律，提升到隱藏於萬事萬物中的數與形，以及廣義的規則與定律──胚騰，數學不再是枯燥抽象的，不再是似乎很有用、但不知用在哪裡的東西。
擴大視野是否要伴隨著艱深的數學技術？一般而言，國中小的數學技術，就能勝任視野的適度擴大，所需要的是學習的方法。我們要從實際的生活，或其他學習領域中取材，來探討其中的數與形，研究其中的胚騰。我們要培養能力，能夠察覺情境中的數學問題，能夠把察覺到的轉化成真正的數學問題。在解了數學問題之後，還要能回到實際的情境，評析解題的結果是否回答了原來的問題，是否能有進一步的推展。我們也要有能力，把整個過程重點摘錄，以便自我溝通，同時也要能與別人溝通與分享。
經過察覺、轉化、解題、溝通及評析等種種步驟，把數學和生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體而有用。新實施的九年一貫國中小數學課程強調的一個重點，就是數學的連結。
0.1 人是尋求規律的動物
人是尋求規律的動物，從語文及數數目發展的過程就可看出端倪。
語文要是沒有規律，彼此無法溝通，就不成為語文。語文的規律大致有兩個層次。一個是大體的結構，譬如字序，中文的「狗咬我」和「我咬狗」，意義完全不同，而日文要把「狗咬我」說成「我（被）狗咬（了）」。又譬如，必要時，時間、空間要講清楚，否則不知道你講的是何時何地的事。另一個層次是較細緻的變化，譬如英文動詞過去式的語尾變化，中文因類而不同的各種數量詞用法（個、隻、顆、粒……）。
小孩子學語文，結構層次的規律很快就掌握得差不多，細緻變化的那一層次則會引起一些學習的困擾，因為規律大致是有的，但不清楚或例外的地方也不少。
譬如英文的過去式，大致來說是用「動詞加ed」的形式，這是規律。但不規則動詞也不在少數。以英文為母語開始學話的小孩子，受環境的影響，知道go的過去式為went；不過學得愈來愈多的規則動詞之後，有一段時間會不自覺把go的過去式說成goed。經過父母老師的糾正，他才知道動詞有規則的，也有不規則的，於是捨棄goed，重新又說went。
人類在發展語文的過程中，體認到現在與過去需要有所區別，於是英文就用不同的字代表現在與過去，所以一些常用動詞都是不規則的。不規則動詞一多，使用就不方便，於是發展了以ed代表過去的規律。不過，已經有的不規則動詞早已成了文化的一部分，只好任其不規則。然而，人到底是尋求規律的動物，於是許多現在已不常用的不規則動詞，如dwell（住；通常用live表之）的過去式dwelt就很少人會用，而dwelled也逐漸取得合法的地位。相信這樣發展下去，英文的不規則動詞會愈來愈少。
中文數量詞的用法，常常和歸類有關。有腳動物歸成一類（人除外），以「隻」數之；長條形的東西以「條」數之等等。歸類自然得尋找共同的表徵，也就是尋求規律。當然，老祖宗在發展數量詞的過程中，歸類的工作沒做得非常科學。「顆」與「粒」怎麼區別？大體來說，粒指的是顆粒狀中較小者，顆則大小通用。粒可大到怎樣的程度？我們說一粒蘋果或一顆蘋果都可以，顯然粒至少可用到大如蘋果者。不過比蘋果稍小的心臟不能以粒來數（至少國語如此）。另一極端，在閩南語中，我們常說一粒西瓜，不說一顆西瓜，而用國語，則說一個西瓜，少說一顆西瓜。我相信應規律化之趨勢，數量詞會愈來愈簡化。
數數目的規律
英文的11（eleven）是「10餘1」的意思，12（twelve）是「10餘2」的意思，13（thirteen）是「3 + 10」的意思，一直到19都是加法的想法。不過過了20，規律建立了，先說整的部分，再說零頭的部分，從此往下數就很順暢。很多語文都有類似的發展過程，開始慢慢數，後來數出心得，數出規律來。像中文很早就建立了十進位的數數法規律，是很難得的。
人是尋求規律的動物。觀察了天象，知道天體運行的規律，還進一步，建立曆法來規範作息。歷史學家尋求朝代改變的規律，想借此做為殷鑑。地理學家注意到，在地球上，無論南半球還是北半球，只要在緯度30°與40°之間靠海的陸地，夏天氣候一定是炎熱乾燥，冬天都是溫和潮濕，困此都有類似的植物生態。所以地中海型氣候的規律就不限於地中海一個地方了。
人是尋求規律的動物。數學裡有許許多多不很複雜的規律可讓學生去尋求。尋求規律很有趣，而且可以累積許多經驗，以便用於其他領域中規律的尋求。
0.2 從規律到胚騰
語文的發展從凌亂開始，漸漸約定俗成，有了規律，再來則有意簡化規律。這樣的發展過程本身也呈現一種通性——許多語文都是這樣發展的。
數數目數到某個階段，豁然開通，懂得十進位的原理，從此以後數得順暢，這也是小孩子數數目的通性。但是中文的數數目，卻沒留下最前階段數得不順暢的痕跡。
規律給人的印象是一成不變，通性則是模糊之中大致有個規律；通性是廣義的規律。
成名的畫家，他的畫有一定的風格，有欣賞能力的，一眼就看得出。風格不是嚴格的規律，它有變化的空間，頂多是廣義的規律。
流行的服飾有一定的式樣，大家爭相模仿，不過剪裁要合身，花樣也可以投己所好；式樣也不是狹義的規律。
一本介紹考古的書籍說，限於篇幅，只能舉出一些實例，讓讀者感受到考古學的大要。
通性、風格、式樣、花樣大要等等，都表示有某種規律，但比較傾向定性型的，而非定量型的。有沒有一個詞，可以統攝這些似乎有某些共同性質的多種面貌，就像規律泛指規則、定律那樣？中文似乎沒有，我們暫以x表之。x可解為「廣義的規律」，不過它是個衍生詞，有點囉唆，不是好的解。我們要為x找個適當的名字。
人是尋求規律的動物，學數學是尋求事物背景中，有關數與形的規律。現在，人不但尋求規律，更試圖了解x，那麼數與形中是否一樣有x，值得數學的關注。
斑 馬
提起斑馬，眼前馬上浮現黑白相間的條紋。黑白相間有「形的順序感」，條紋的多寡有「數的量感」。再留意一下，有些斑馬的條紋比較寬，看起來比較疏，有些比較窄，看起來比較密。分開看不覺得，擺在一起就很顯眼。
這裡有沒有數學？有的，寬窄的相對比較。數學就條紋這個表徵，認定斑馬至少有兩種，寬紋斑馬及窄紋斑馬。數學方式的分類有沒有道理？有的，生物學家說，寬紋的叫做草原斑馬（Burchell’s zebra），產於非洲東部及南部的草原區；窄紋的叫做格利威斑馬（Grevy’s zebra），產於非洲北部的灌木區，而且腹部白色無條紋。另外還有一種產於西南非高地的山斑馬，其臀部有格子式的斑紋。
我們不好說條紋的幾何「規律」不一樣，我們說條紋的幾何「樣式」不一樣。x有了新的例子：樣式。就條紋的表徵，依幾何的樣式分類是數學的工作。
這樣的工作該歸屬於數學，還是歸屬於生物學？學門的區分往往有其時代的背景，從前的自然哲學，後來區分成科學哲學、物理、化學、生物、地科等等。但學門劃分愈細，愈容易劃地自限，現在開始回頭走，因為學門間相鄰的邊區，往往是雙方都照顧不到的地方，也是最值得研究的地方。學門整合，此之謂也。
從數學看出斑馬可分若干種，那麼要不要追出分種的源頭？有的數學家比較保守，認為那是生物學家的專屬；觸及生物領域已經有多管閒事的顧忌，何況還要深入其境？有的數學家比較積極，不但要研究生物背景中數與形的x，還要透視造成x的來源與機制；他們預創了形態數學（morphomatics），做為日益擴張中之生物數學的一個分支。
其實就學習的觀點，管它專屬數學還是生物，有趣的就該快樂的學。
通性、風格、式樣、花樣、大要等等，都是x的不同面貌，還有，在數學中，除了規律之外，又可找到許多x的變身，像樣式、形態、圖樣、結構、特色、模式等等。大抵說來，這些用詞或者代表狀況之特徵，或變化之特色。那麼該給x什麼樣的名字呢？
英文有個字可以代表這樣的x，稱為pattern，pattern譯成中文是什麼呢？隨著上下文各有不同的譯法，上面所提到的各種名詞都有可能，而且還有其他的可能。在數學文獻中，有人譯成模式，有人主張樣式；樣式的身段比較柔軟，似乎更能呈現x的定性特質。
圖 騰
不過，想來又想去，我建議把pattern譯成音義都不錯的「胚騰」。音當然不錯了，義呢？這得從「圖騰」兩字談起。
圖騰兩字原是totem的音譯，totem指的是北美印地安人刻有圖案的木柱，樹立地面，做為表徵某些意念之用，譬如歡迎、擁有（房子）、墓碑等。圖騰通常用動物做圖案，所代表的意念，印地安人都懂得。
人類學家發現，許多地方的部族，都發展了一種社會關係的建制。他們借用圖騰這樣的具體實例，稱這種建制為圖騰觀（totem-ism）。
圖騰觀約可歸納成三點原則：
1. 每種圖騰以一種動物為代表（有時用植物或自然物為代表）。
2. 每個人屬於一種圖騰（譬如熊族）。
3. 對圖騰的成員有些規範。規範的pattern如下：
（1）與圖騰代表物的關係：代表物會保護成員？代表物代表祖先？為何崇拜代表物？是否禁食代表物，或舉行特殊儀式才可食用？（答案隨地區有所不同。）（2）成員歸屬的認定：大抵隨母親傳承，但有例外，譬如澳洲的原住民阿龍塔（Arunta）部落，認為受孕是靈魂投胎的結果，不同圖騰的靈魂會散居於不同的地方，母親要回想受孕的地方，才能決定子女所屬之圖騰。所以同圖騰的成員會散居各處，住在一起的人可屬不同的圖騰。
（3）性的禁忌：通常同圖騰的成員間不能有性關係，當然也不能聯姻。（但也可能另有規範。）
這樣的規範內容顯然不能稱為規律，但規範的項目（代表物、成員與性）倒是相當一致的。我們可以說這是規範的pattern，甚至說圖騰觀是一種pattern，因為從內容可以確認某地方的人是否具有某種圖騰觀。圖騰的起源到底是宗教的、社會的、飲食的、商業的，還是心理的、人類學家還在熱烈討論——數學家想摻一腳嗎？
圖騰雖然是音譯之詞，幾十年用下來，似乎生出意義來：「圖」指的是表徵（代表物），「騰」原意是馬在奔馳，也可引申為興起突現之意；圖騰兩字合起來，就變成「表徵所要突現的特質」。
胚騰呢？「胚」是胚胎，引申為事務之發端，與「騰」字合起來，就變成「其來有自的突現」。突現表示狀況之特徵或變化之特色，能引人注意者。如果每次出現的狀況或變化都類似，當然其來就有自了。
用胚騰同時音義兩譯了pattern，算是我掰出來的產物。當然重要的是，我們要認識各式各樣的胚騰，我們要追求各種胚騰的根源。
摘自《從生活 學數學》第０篇
曹亮吉（作者）
幾年前我寫了一本書《阿草的葫蘆》（遠哲科學教育基金會出版），特別標明「人類文化活動中的數學」。出版後頗受好評，不過也有人告訴我，還是寫得太深，跳得太快。
我承認，該書的讀者應該是已對數學有興趣，而更想知道數學在文化中所扮演角色的人。我考慮，是否該寫一本書，能讓一般讀者發現數學是身邊事，因而引起對數學的興趣。
參加國中小學九年一貫課程數學領域的設計，讓我更能體會到，一般國民需要什麼樣的數學。所以我就寫了現在這本書，定位是一般國民能夠知曉的數學，內容固然有些九年義務教育該學習到的數學，也有不少以義務教育為基礎，在終身學習的實踐中，一位成熟的社會人士也能領會的數學。
「數學是科學之母」，學科學的人都會同意這樣的主張，但一般人為什麼要學數學？很多人說離開學校後，除了簡單的算術外，數學是沒有用的；少數人說學好數學腦筋會比較清楚。前者屬數學無用論，後者屬數學抽象有用論。無論怎麼說，數學教育之功能是件很神祕的事。
這使我想起了尋找聖杯的故事。從十二世紀開紀，英國流傳亞瑟王及圓桌武士的故事。除了主架構外，後人又添加了許多新武士及他們的冒險故事。冒險故事之一就是尋找聖杯。
聖杯是耶穌及其門徒，在最後晚餐所用的杯子，自然神聖得很；傳說聖杯又可變出許多食物，所以又是有用得很。「神聖得很」類似於數學抽象有用論？「有用得很」類似於「數學是科學之母」，或者對一般人真有用？
傳說聖杯放在某一個古堡中，也傳說聖杯無所不在，於是眾多武士忙得不亦樂乎。從事數學教育的人也在問，數學的聖杯是什麼？在哪裡找得到？經過多年的尋尋覓覓，我認為數學的聖杯就是數與形所能呈現的各種胚騰（pattern）——廣義的規律，在日常生活中，在各領域裡，它是無所不在的。
尋找數學聖杯
我把各處找到的數學聖杯，彙整成這本書。這本書採例舉式的，儘量用實際的例子來表達意旨。全書36篇文章，依類分成6大篇，各以「學、說、算、變、看、想」為題。
「學」篇強調學數學的重點應擺在胚騰的追求與了解，胚騰指的是各種廣義的規律，在許多事務中的數與形都會出現。學會追尋胚騰，使得數學能力生根，學數學才真正有用。
裡面有兩篇文章談規律與胚騰。＜人是尋求規律的動物＞這篇文章，原來出現在黃敏晃教授所著《規律的尋求》（心理出版社出版）一書中，是我替該書所寫的一篇序文。第二篇文章＜從規律到胚騰＞則說明「廣義的規律」是什麼，為什麼選用「胚騰」做為pattern的中譯。另外的三篇文章則舉例談數學的學習。
「說」篇談的是一般語言中，牽涉到數字的語彙，譬如數數、計量、說時間、說空間、說順序等等。我們用十進位夾帶萬進位數數，很有特色。我們用數詞來做為點數實物的單位，但數詞應用對象的歸類太馬虎，造成學習數詞的困擾。時間、空間、順序的說法，如果不去注意說話者的時空背景，有時會造成雞同鴨講的窘境，譬如「向前看」怎麼解？下一班車、這一班車又怎麼移轉？
另外，有些用語和說法與數學有關，如亂七八糟、舉一反三等，已融入日常用語中，借來做為類比之用。能深究其原意，更能了解這些用法的深意。
「算」篇談的是算術。算術不只是計算規則而已。我們經常遇到很大的數目，不可能細數，只能估算。估算當然要了解相關事務的背景。要與日常生活或其他領域連結，數學才會有用。連結從算術就得開始。
隨著時間的推移，有些數目，譬如要過的日子、人口的多寡、航班的號碼，都有無限增長或重複利用的可能，我們稱之為潛在的無窮。怎樣掌握潛在的無窮，算術也能扮演重要的角色。
「變」篇談的是代數，強調「變」是代數思維的主軸：把同類的事務，以變數x做標記加以類化；隨著事務x的變化，事務某種特定的性質f(x)也隨之變化。如何類化？如何由x確定f(x)？如何由f(x)之特值確定x？這三個問題都屬代數的範疇。通常代數的教學過分重視第三個問題，也就是設未知數解方程式的問題。其實在日常生活中，解方程式的機會是絕少出現的。第二個問題是建立模型的問題。類化與模型的應用最為廣泛，應是一般人學習代數的重點。
計量心理學家提出了感覺M與刺激E之間的數學模型：E是M的指數函數。它可應用到地震規模與能量、星星的星等與亮度，甚至推而廣之，到都市規模、人才等級等等。另外各種成長現象，甚至音樂的音階設計，也可通過指數函數的數學模型來了解。
「看」篇談的是幾何。我們不談平面幾何的推理，而強調的是「看」：看地圖、地標找路、看視界的遠近、看面積的大小。這些都是簡單的幾何應用，案例卻是潛在的無窮。
我們也注意看平面的位置變化，鏡射的、平移的、旋轉的，進而探討各種對稱及帶狀裝飾。在這裡，我們發現了數學與藝術接壤的地方，數學提供了基本胚騰的理論基礎，藝術則在基礎之上發揮，做各種多采多姿的變化。
「想」篇說明數學是一種語言，當然有其思考的特色。我們把這種特色融入一般語言之中，於是歸納的意義、個體與集體之間的關係、集體與整體的不同、三段論法的應用、充分必要條件的區分、多元的可能與選擇等等，就比較容易想得清楚。甚至幽默與笑話之所以幽默與好笑，也可以有些數學的道理。
一本書不可能道盡尋找數學聖杯的所有故事，這本書希望能帶給讀者尋找數學聖杯的喜悅與衝動。
摘自《從生活 學數學》序
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