動手做幾何

0. 序

1. 閒話幾何與空間能力

2. 組合正方體的塗色問題

3. 互納盒

4. 正方體的平面截面

5. 人面獅身話複製

6. 漫談平面圖形的變幻

7. 足球和截角正多面體

8. 隱形金字塔

9. 一塊花布

10. 模擬撞球遊戲

逆運作走回頭路

地圖是現代人很重要的工具，故現代教育很強調讀圖的能力。學生在這種能力的培育，並不只是地理課的責任；數學課中的坐標，應該也和讀圖有密切的關係。問題在我們數學老師，常把這種教材教得太形式，使學生完全沒感覺，以至我國公民的讀圖能力不強。

製圖的制式規格是把北方放在視線的上方，南方在視線下方（東和西因此而被定位在視線的右方和左方）。在傳統的讀圖教育（傳統相對於多元觀點，我們曾有位教育部長杜正勝說過，可以把台灣的地圖橫過來看，把東方的太平洋放在上方，大陸放在下方，立刻被人罵個要死，其實他只在凸顯多元觀點而已）下成長的我們，東西南北所形成的十字軸線，在我們腦中已經形成深層的烙印，這和專司平行垂直的腦細胞，會幫我們建構出互補的方位系統。所以，題目中有關東、西、南、北的方位描述，對我們都變得簡單。

從認知的角度來說，以東西南北為腦中參考坐標的主軸，則東南、西北等只是做這些主軸之90角的平分線而已。任意角的「角等分線」其實並不容易做，但是45角是一般人從小就從三角板上熟知的「特別角」，故東北、西南等的方位，也算是不難的啦。

在我們的討論有談到另一種迷路的狀況，牽涉到「逆運作」的思考模式。比如說，你從某個入口進入一個幅員遼闊的地區，沿著一條路線作了部分的參觀，由於時間的限制你必須沿來路回去；若這不是你熟悉的場域，地形路線又稍嫌曲折複雜，則這不見得是容易完成的任務。

筆者夫婦就曾在澳洲的雪梨動物園，如此迷過路。由於當天早上我們先趕了個行程，下午才去動物園。該園依山傍水占地甚大，到了傍晚才覺悟到走不完，於是想沿來路出園。但來時沒特別注意路標（land mark），左、右轉的時機和順序也沒記。所以，逆向走回頭路時，實在亂無章法，難怪迷路。

通常迷路的最佳解法，是「路在嘴上」即問人。但當天非例假日，遊客本少，時間又晚到關園前，半個遊客也不見，只好慢慢摸索，最後是被園方的巡邏人員找到（他們有入園、出園人數的電腦點算機制，故知有人留園內）。我們表達謝意後，園方人員表示這是他們的責任，因為他們怕我們會傷害園內動物（而非怕我們被動物傷害）！

走回頭路這樣任務，在我們的認知上可以說是「逆運作」，其項目可分成如下幾個：
1. 回想來時的路線，多少轉彎，如何轉（左或右轉）；在腦中還得把順序倒轉，左、右轉互換。
2. 路上有什麼顯著的地標，它們出現的順序，以及它們在不同的方位上顯現的外形，究竟是如何。

上面的第2項，牽涉到幾何物件的視圖，以及物件之間的相對位置關係，是很正統的幾何能力。討論這些，稍費口舌，讓我們暫且延後，先談跟路線有關的事務，以及腦袋中如何逆轉順序的運作方式。

摘自《動手做幾何》第一章

談到幾何，許多人會聯想到二千多年前古希臘歐幾里得的《幾何原本》。由假設出發，純粹用邏輯推論而得到結果的方式，慢慢的變成人類文明最重要的成分之一。所以，世界各國的幾何教學，不可避免的特別強調此典範。但是，形式的推論是很難的，尤其是在推論幾何引入的年段──八、九年級。照筆者知道的資訊，八、九年級的學生論證幾何，90%以上都用背的，不甚理解。

凡．希理（Van Hiele）夫婦認為幾何的學習是有階段的，他們提出的五階段論，在現在的數學教育界是大家都熟知的，概述如下：

第一期為視覺期（Visualization），此期兒童只能就看到的幾何物件之整體外貌，辨認其不同的形體。

第二期為分析期（Analysis），此期的兒童能經由觀察和簡單的實驗，認識幾何形體的外顯特徵（初期例如有幾個頂點、幾條邊等等），垂直、平行、線段等長、角和形的全等（後期）的掌握。

第三期為非形式化的推論期（Informal Deduction），此期的學童能做一些簡單的（譬如說三、四步驟）推論，粗略的建立並掌握圖形屬性的一些內在關係，也能夠進一步對幾何形體加以分類。

第四期為形式推論期（Formal Deduction），此期的學生能夠做比較嚴格的形式論證，即有層次的靠邏輯由已知推到要證明的結果。他們也能夠瞭解並掌握充分和必要條件，以及正逆命題之間的差異等。

第五期為系統知識期（Systematic），此期可以說是專家期。他們能夠理解幾何的系統是由公理、公設所建立的幾何知識體系，並進一步做各種幾何體系（如歐幾里得空間及非歐氏空間）之間的比較等。

不難看到，國中、小學的幾何學習大致上是由第一期到第二期（小學），以及由第二期到第三期（國中）。把學生由第三期提升到第四期，應該是高中（也許大學部）的任務；至於到第五期，則只能在大學數學系和研究所才能去講究的。

如何帶領學生由較低的認知層級，提升到較高的認知層級，這是教育的真正意涵，也是所有數學教師不可推卸的神聖任務。怎麼做？

以第二期到第三期的情形，我們不能只要求學生做一些無趣的，像考試那樣的推論練習，而要透過遊戲式的，能夠具體操作的活動，期間要求講道理等，才能慢慢達到。本書所介紹的這十篇文章，幾乎都是由遊戲式的活動編織而成的，所以有這樣的功能。希望老師們能夠在自己的課堂中試用看看，學生應該是會喜歡的。

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