妙不可言的數學證明

序
靠不住的真理：為什麼要證明？
畢氏定理：切割證明法
又平又簡單：基本的定理工具箱
由派到π：圓的奧祕
卡氏原理：切片逼近證明法
卡瓦列里錐體切割：實際的切割操作
惱人的截頭角錐：陽馬及壍堵
阿基米德定理：球的奧祕
由裡向外翻：利用到楔形的兩個證明
數學骨牌：歸納法
無窮階梯：重組證明法
順著擺線走：分解證明法
圓錐切片：丹德林的內接球技巧
摺出圓錐曲線：聚焦鏡與耳語牆
打結摺出多邊形：摺紙證明法
切割正方形：老模式，新看法
冪次和：雙倍計算的證明法
永無止息的質數：歸謬法
數的本質：再用一次歸謬法
黃金比：自然界最鍾愛的數字
大自然的數字：生長的幾何
歐拉公式：修剪證明法
化不能為可能：倍立方、圓化方與三等分角
附錄一：一個定理，多個證法
附錄二：人人為我，我為人人
附錄三：眼見未必為真
附錄四：一般情形的巴斯卡三角形
附錄五：多胞形

冪次和雙倍計算的證明法

畢達哥拉斯的時代，就靠著下圖所示一眼就能看出的神奇分割證明法，證明了頭n個自然數的和，是長方形中石子數目的一半，也就是n(n + 1)/2。數學巨人高斯（Carl F. Gauss, 1777-1855）十歲時，再次發現了這個公式。當他的老師要求學生們從1加到100時，他躲過了繁瑣的計算，因為他觀察到

1 + 100 = 2 + 99 = … … = 50 + 51

因此，總和為50×51 = 5050。他的論證正好對應到下圖，只要一列一列的仔細觀察最右邊的長方形，就能看出來了（1 + 4 = 2 + 3 = 5，因此和為2×5 = 10）。

下面的圖，很優雅的證明了頭n個自然數平方和的三倍，恰恰等於右邊長方形中石子的數目，也就是 (2n + 1)(1 + 2 + … + n)。

一般而言，3(12 + 22+ … + n2) = (1 + 2 + … + n)(2n + 1)。代入1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2，得到12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6。

下面的圖，證明了頭n個自然數的立方和等於頭n個自然數和的平方。

這些立方體的體積和13 + 23 + … + n3，等於1×(1 + 2 + … + n)2，也就是正方板塊的體積。

13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n)2

有些數學題材，其優美之處，人人都能欣賞。正多邊形及正多面體，就是很好的例子，它們的完美僅次於圓及球。再來就是畢氏定理，讓我們建造出直角世界的重要基石；還有圓錐曲線，用來描述天體運行的軌跡，都是這樣的例子。

然而，在這些淺嚐即得的題材以外的數學之美，卻很少人能夠欣賞到，其中的大多數，只有當數學家在做研究與寫出精心打造的數學證明時，才顯現在他們的眼前，即使是訓練有素的人，也難以一窺奧妙。

數學家在證明完結之處，以Q.E.D. 三個字母，宣示定理的真實性從此建立。這是拉丁文quod erat demonstrandum的縮寫，意思是「證明完畢」（或「故得證」）。Q.E.D. 既是數學真理與數學之美的同義詞，也代表這門古老科學看似遙不可及的一面。

不過，Q.E.D. 也會出現在一些雖然簡單、卻令人驚嘆的證明結尾處。這本小書呈現了一趟穿梭於這些奇妙珍寶的旅程，沿路探索數學證明背後的想法，獻給所有對深藏著的數學之美有興趣的人們。

寫於墨爾本，2003年7月

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