序　創意思考的靈光閃耀

第1部　排列組合
頭痛的泡泡糖問題
乒乓球賽
怪博士的杯子
曲折的路途
標錯名的寶寶
怪博士的杯子
煎牛排的策略
麻煩的磚塊
怪博士的寵物
裝錯藥瓶（一）
裝錯藥瓶（二）
斷掉的手鍊

第2部　幾何
切起司
藏起來的邊長
黑白騎士交換
驚奇劍
兩極問題
怪博士的火柴
分地問題
歐小姐的方塊
鋪地毯難題
奇怪的切蛋糕方法

第3部　數字
半張唱片
怪物有多長
一個太多
雞兔問題
大撞車
奇怪的產品
不在電話簿上的電話號碼
倒楣的帽子
關於錢事
何叔叔的鐘
一七七六年的精神

附錄：各章解答

頭痛的泡泡糖問題

圖1：可憐的鍾太太想在雙胞胎兒子看到賣泡泡糖機器之前，趕快走過。但是，來不及了。 老大：媽媽，我要買口香糖。 老二：我也要，媽媽，而且我要和哥哥一樣的顏色。

圖2：泡泡糖機器快賣光了，沒有辦法知道下一個掉出來的糖是什麼顏色。如果鍾太太要2顆顏色一樣的泡泡糖，她最多要準備幾塊錢？（機器裡有6顆紅色的、4顆白色的糖）。

圖3：鍾太太可以花6塊錢拿到所有的紅泡泡糖；花4塊錢拿到所有的白泡泡糖，再花2塊錢拿到2顆紅色的糖；或是她總共花8塊錢再拿到2顆白色的糖。所以她最多要準備8塊錢，對嗎？

圖4：不對，如果前兩顆糖的顏色不同，第3顆糖的顏色一定會和前二者之一相同，所以她最多只要準備3塊錢。

圖5：現在假設機器內有6顆紅糖、4顆白糖和5顆藍糖，那麼想想看鍾太太要花幾塊錢才能買到2顆顏色一樣的糖？

圖6：你說4塊錢嗎？答對了。現在你可以幫史太太傷腦筋了，她正帶著三胞胎經過同一部泡泡糖機。

圖7：這次機器內有6顆紅的，4顆白的，只有1顆藍的，史太太最多要花多少錢才能買到3顆顏色一樣的糖？要花幾塊錢？

其實，圖中的第二個問題只是第一題略做改變，可用同樣的竅門解答，前3顆糖可能顏色都不一樣，紅、白、藍各一。這是最糟的情形，要經過最長的程序才會得到想要的結果。第4顆糖一定會和前3顆之一的顏色一樣，因此鍾太太最多要準備4塊錢。 我們把這個問題推廣成有n個顏色不同的糖，如果有n色，就要準備買n＋1顆糖。

第三個問題比較難，史太太不是有雙胞胎，而是有三胞胎，泡泡糖機器內有6顆紅糖、4顆白糖和1顆藍糖。她最多要花幾塊錢才能買到顏色一樣的3顆糖？ 和先前一樣，我們考慮最壞的情形。史太太可能買到2顆紅的、2顆白的和唯一的1顆藍糖，總共是5顆糖。第6顆糖一定是非紅即白，就會有3顆顏色一樣的糖，因此答案是6塊錢。假如藍色的糖不只1顆，她就需要第7顆糖。

這種「啊哈！有了！」的能力就是在最壞的情形中，找出答案。有人也許以比較難的方式來解這個問題：把每個球從1到11編號，然後看各種可能的結果，何時可得到3顆同色糖。不過這個方法要排出11！＝39,916,800種順序。即使這個問題不考慮球的顏色，用同樣的方法仍需排出2,310種排列。

要拿到k個同色糖的解法如下：假設有n色的糖，每種顏色至少有k個，那麼要拿到相同顏色k顆糖，至少需買n（k－1）＋1顆糖。你可以想想看，如果有些顏色的糖不到k顆，情形又會是如何。 這類的問題可用多種方式來呈現。例如：從52張撲克牌中，你要拿多少張牌才可以拿到7張同花色的牌？這時候n＝4，k＝7，依前面的公式得到的答案：4（7－1）＋1＝25。

創意思考的靈光閃耀

創意的過程和迷輯或理性幾乎無關。數學家突然有個靈感，想到一個大發明時，總是與當時手中的工作無關，而往往是在旅行中、在刮鬍子中或想別的事情時，突然靈光乍現的。創意難以意志召喚而得，也無法在馨香祝持中出現，只有在腦子輕鬆、想像力自由發揮的情形下，才會出現。——克萊恩（Morris Kline, 1908-），《科學美國人》（Scientific American），1955年3月

實驗心理學家喜歡說個故事：有個教授想研究猩猩解決問題的能力，他把一根香蕉高掛在天花板上，猩猩怎麼跳也搆不到。房間內除了幾個箱子散置外，空無別物。這個實驗是想看看這個猩猩會不會把箱子拉到香蕉下面，爬上箱子上去拿香蕉。

猩猩安靜的坐在角落邊，看著心理學家忙著放箱子，牠耐心的等到心理學家站在香蕉正下方時，一躍而上他的肩膀，翻個身就拿到了香蕉。

這個故事在說明：看起來很難的問題，也許有個簡單而想不到的解決方式。在猩猩的故事中，不論猩猩是根據本能，或是牠過去的經驗，這種解決問題的方式都出乎心理學家的預料之外。

數學家的腦子中總是在找更簡單的方法來解定理和解題目。通常第一個解題方式會寫上滿滿約五十頁，都是深奧、技術性的推理；接著過了幾年以後，另一位數學家，也許比較沒名氣，會突然靈光一現想出一個非常簡單的解法，且只需幾行就解出來了。

靈光乍現

這類的靈光乍現，想出簡短而優雅的方式來解決問題，現在被心理學家稱之為「啊哈！有了」（Aha! reactions）。這種反應多半是以福至心靈的方式出現。有個關於著名愛爾蘭數學家哈密頓（W. R. Hamilton, 1805-1865）如何發現四元數（quaternion）的著名故事。他走在一座石橋上，突然領悟到一個算術體系不一定要遵行交換律（commutative law，即A＋B＝B＋A）。他悟道後馬上停在橋上，把基本的公式刻在橋上，據說至今那些公式仍留存在那座石橋上。

到底是什麼原因使一個有創意的人，靈光乍現？至今沒有人知道。那是種奇妙的過程，沒有人能讓一台電腦學會那種過程。電腦是以機械式的、一步接一步的方式來解問題，你必須很精確的告訴它每一步要怎麼做；不過因為電腦可以驚人的速度來計算，所以它可以解出一個數學家無法解的問題。同樣的問題，一位數學家可能要日夜不停的算上幾百、幾千年。

「靈光乍現」是指在腦中突然創意的想出一種簡單的方式來解決問題，這與平常以為的智力不同。最近的研究指出，有這種靈光乍現能力的人，智力都在中等以上，但是不見得智力愈高就愈有這種靈光乍現的能力。一個人也許智商很高，但是有靈光乍現的能力很低；而另一個人也許智商中等，但卻有很高的創意能力。以愛因斯坦為例，他在傳統數學上不是特別出色，他在學校的成續也平平。但是他卻能有想出相對論的靈感，完全改變了物理理論。

創意思考

如果你以傳統的方式來解本書選出的問題，會覺得很難，但是如果你能拋開一般解問題的方法，可能就會得到解題竅門的靈感。如果一開始你解不出來，先別氣餒，儘量再試試看，再看後面的解答。過一陣子後，你會愈來愈抓到竅門；以非線性的思考來推敲問題，你會驚訝的發現你愈來愈有「啊哈！我解出來了」的能力。一旦如此，你會發現這種能力在處理日常生活的問題上也很有用。譬如，你要轉緊一個螺絲，一定要找個螺絲起子才能轉嗎？還是就地用身上的銅板也能做到？

也可以用這些問題來問朋友，很有趣的，他們多半會想很久，然後覺得太難而宣布放棄，但當聽到你告訴他們解答這麼簡單後，他們會大笑。為什麼他們會大笑？心理學家也不是很清楚，不過根據對創意思考的研究，創意和幽默之間有某些關聯，也是因為靈感常帶來樂趣吧。常用創意解決問題的人，喜歡有問題挑戰他，就像喜歡棒球或下棋遊戲的人一樣。

創意能力和思考快慢不必然相關，思考慢的人可以和思考快的人一樣享受解題的樂趣，即使無法有題題快解的樂趣，卻可能出人意料之外的以異想天開的方式解開謎題；甚至此種由捷徑解題的樂趣會反促使人回頭學習傳統解題技巧。這本書就是開放給任何一位有幽默感、有心瞭解這些謎題的讀者。

在科學、藝術、商業、政治或任何人類活動中，靈感和創意是密切關聯的。在科學上的偉大創見，幾乎都是一種出人意外、直覺跳躍式想法的結果。畢竟，科學就是為了解宇宙間的難題，大自然創造了有趣的現象，讓科學家絞盡腦汁去想是怎麼回事。尋求解答的過程，並非像愛迪生找到燈炮白熱絲、或是根據相關知識來歸納出答案一般，需要那麼冗長的嘗試錯誤的過程；而往往是由「我想到了」（Eureka!）式的頓悟。「Eureka」一詞的由來，就是阿基米得（Archimedes, 約西元前287-212）在洗澡時，突然想出解決水壓問題的方法。根據傳說，他當時好興奮，跳出浴缸，裸著身體奔下樓，高喊著「Eureka!Eureka」（我想到了）。

我們把本書的問題分為六類：排列組合、幾何、數字、邏輯、程序和文字。分類很廣，難免有重複之處，同一個問題可能既是幾何又是邏輯。我們儘量以好玩、有趣的故事來呈現問題。我們的目的在幫你拋開傳統解決問題的程序。我們建議在解一個新的謎題之前，先從各個角度來想，不論是多怪異的角度，以免你耽溺於習慣的傳統解題方式，那往往會浪費更多不必要的時間。

在每個問題之後，我們加上了一些說明，說明那個問題與現代數學之間的關係；有時候，有些問題至今無解。

我們也試著以下列的問題讓讀者舉一反三：
一、這個問題能簡化嗎？
二、這個問題能變成另一個同性質、但比較好解的問題嗎？
三、你能想出一個更簡單的方式來解題嗎？
四、你可否運用某種數學上的定理？
五、你可以用正例和反例來證明結果嗎？
六、問題本身是否會造成誤導？是在哪方面誤導呢？

我們很快的就會進入電腦紀元，大家都想用電腦程式來解答所有的數學問題。經過長期的糾正錯誤後，電腦也許可以幾秒鐘就解一個問題，不過寫那些程序可能要花上好幾天。雖然寫電腦程式也是種創意的過程，但是也許解決那個問題根本就不用寫程式。
如果人類在適應電腦紀元後，懶於動腦而喪失了創意的能力，會是很悲慘的。本書集合這些謎題的主要目的，就是讓讀者訓練並加強解決問題的能力。

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