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天下文化首頁 主題 數學超越直覺
科學自然

發表日期

2016.01.04
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數學超越直覺


到底0.999⋯⋯是什麼東西?是1嗎?還是比1少掉一個無窮小的數,是那種一百年前尚未被發現、類型怪異的數嗎?

把無窮多的東西加在一起

正確的答案是不問原來的問題:到底0.999⋯⋯是什麼東西?它看似指一種和:

.9+.09+.009+.0009+⋯⋯

但那又是什麼意思呢?那些惱人的點點點才是真正的問題所在。把兩個數、三個數或一百個數加在一起的意義,不會產生爭議。這只是我們非常瞭解的一種實體程序的數學記號:只是有一百堆東西攪和一起,再看你究竟有多少東西。然而無窮多完全是另一回事。在真實世界裡,你從來不會有無窮多堆東西。無窮和會是什麼樣的數值呢?它其實沒有定值,除非我們賦予它一個定值。這是法國數學家柯西(Augustin-LouisCauchy)偉大的創見,他在1820年把極限引入了微積分。

英國數論家哈地(G.H.Hardy)在1949年出版的《發散級數》(DivergentSeries)一書中說得好:

對於現代的數學家而言,數學符號在定義定好它們的意義之前,不應該擁有任何「意義」。然而在十八世紀,即使是最偉大的數學家也難有這種體認。他們沒有給定義的習慣:他們不會說:「寫成X的意義,其實是Y。」⋯⋯粗略的說,在柯西之前,數學家不會問:「我們該如何定義1−1+1−1+⋯⋯?」而是問:「1−1+1−1+⋯⋯等於什麼?」這種思考習慣,讓他們遭遇不必要的困惑與爭議,其中許多其實只是文辭的疑意。

這並不是隨隨便便的數學相對主義,我們並不會因為可以賦予一串數學符號任何意義,就毫無約束的去做。就像在真實人生中有好的選擇,也有壞的選擇一樣,在數學的脈絡裡,好的選擇能削減不必要的混淆,不致產生新的困惑。

.9+.09+.009+⋯⋯,項數加得愈多,愈接近1,而且不會再遠離。不管你給1圍上多麼緊的警戒線,在加到足夠多個有限項後,總和就會穿越警戒線,並且再也不離開。在這種情況下,柯西說我們乾脆把無窮項的和就定義為1。然後他很努力的證明,一旦採納這個定義,矛盾並不會在別的地方冒出。當這些工作完成後,他就成功建立了一個使牛頓微積分完全嚴格的架構。

數學超越直覺

當我們說從某個角度看來,局部的曲線像是直線,我們現在的意思大約如下:當你把視野愈拉愈近,曲線就愈來愈像已知的直線。在柯西的體系裡,沒有必要提及無窮小量,或任何讓人心生懷疑的東西。

這當然要付一些代價。0.999⋯⋯問題之所以會令人困惑,是因為它使我們的各項直覺發生衝突。我們一方面希望無窮級數的和遵守算術運算規則,所以好像應該要求和等於1。但是從另外一方面來看,我們又希望每個數都只用一個符號來表示。那麼如果有某個數,如果我們喜歡的話,可以叫0.999⋯⋯,也可以叫1,就不符合希望。

我們不能同時保有這兩種希望,必須揚棄其中之一。柯西採取的途徑是把小數表示法的唯一性甩掉,此法在他之後兩世紀期間,都充分證明了極具價值。在英語裡,有時得用兩串相異的字母(即相異的字詞),來表述世界上相同的事物,我們也不會覺得有任何困擾。因此,用兩串相異的數碼來表示相同的數,也不算太糟。

挪威數學家阿貝爾(NielsHenrikAbel)是柯西理論最早的粉絲,他在1828年寫道:「發散級數是魔鬼的發明,用它們做任何論證的基礎是可恥的。」

哈地的觀點,也是我們今日的觀點,就比較寬容:認為有些發散級數應該總是賦予和,有些則總是不適宜,還有一些是否賦予和要看它出現的場合。現代數學家會說,如果要賦予格蘭迪級數和的話,那就應該是1/2。任何關於無窮級數的理論如果會給它和的話,就會給1/2,否則就像在柯西的理論裡一樣,什麼和也不會分配給它。

把柯西的定義精確寫下來,要花一些功夫。柯西自己確實是很費了點勁,他還沒能使用現代的清晰方式敘述他的概念。(在數學裡,你很少會從概念發明人那裡,得到概念的最清晰說明。)

柯西是堅定的保守主義保皇黨,但是在數學上,他很自豪是革命家,並且會嚴厲批評學術權威。

當他瞭解如何避免使用危險的無窮小來做事後,他就改寫高等工藝學院的微積分課綱,用以反映他的新觀念,但這卻惹毛了身邊所有的人:準備上一年級微積分課的學生一頭霧水,他們並不想參加尖端數學的討論班;他的同事則認為工藝學院的工程科學生,根本不需要到達柯西嚴格要求的程度;對於管理層級方面而言,柯西完全忽視必須遵照官方課綱的要求。工藝學院由上而下要求執行強調傳統用無窮小教微積分的課程,並且派人坐在柯西的講堂裡記筆記,以此保證他按規矩辦事。但是柯西就是不按規矩辦事,柯西只對真理感興趣。

我們很難站在教學的立場上替柯西的態度辯護。不過我還是同情他。研究數學的最大樂趣之一是那種無可爭議的感覺:你已經找到理解某事的正確途徑,可以直指事物的核心。那是我在其他心靈層面未曾經驗過的感覺。當你懂了如何用對的方式做事,就很難允許自己(頑固一點的人甚至不可能),再用錯的方式解釋那件事。

 

摘自《數學教你不犯錯,上》

數位編輯整理:曾琳之

Photo:Takashi Hososhima, CC Licensed.

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