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天下文化首頁 主題 樂透包牌一定贏錢的方法
科學自然

發表日期

2016.01.26
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樂透包牌一定贏錢的方法


大贏錢的妙法

2005年7月12日美國麻州樂透當局的糾紛調解單位,接到劍橋星星超市職員打來的不尋常電話,劍橋位在波士頓北邊市郊,哈佛大學與麻省理工都在那裡。有一位學生來超市買麻州新推出的樂透「大贏錢」(Cash WinFall),這不奇怪,異於尋常的是他購買的數量。學生拿出一萬四千張手寫的號碼投注選單,一共花費2萬8千美元。

沒問題,樂透當局告訴超市,只要填單正確,任何人要投注多少就可以投注多少。通常店家一天若想賣出5千元以上的樂透,必須先向當局申請免除限量發售,那家超市早已獲准放寬銷售量。

星星超市並非波士頓該星期唯一大賣樂透的銷售點。在7月14日開獎前,還有十二處銷售點與樂透當局接洽,請求免除銷售上限。其中有三處在昆西區,該區在波士頓南邊鄰近海灣,有較多亞裔美國人聚集居住。在少數幾家店裡,有上萬張「大贏錢」彩券賣給了一小撮顧客。

到底是怎麼回事?

答案並不是什麼祕密,它明明白白寫在「大贏錢」的規則裡,明眼人一看就知道。這個2004年秋季開始發售的新遊戲,是用來取代「麻州百萬」,這個遊戲因為經過一年之久都發不出頭獎,只好收場。既然玩家興致低落,彩券銷售下滑,麻州有必要把樂透振奮一下,州政府的官員就想到把密西根州的樂透改裝成「大贏錢」。在「大贏錢」的玩法下,頭獎不會因為沒人中而持續累積增高。每當頭獎累積超過2百萬元又沒有人對中,獎金就會自動「向下滑」,用以增加比較不難中的小獎項。次一期的頭獎再回歸到50萬的基本額。樂透當局希望這種即使不中頭獎,也很有機會贏錢的新玩法,能吸引人掏出腰包。

說實在的,他們過分盡心盡力了。在「大贏錢」裡,麻州不小心設計了一種真正對投注者有利的遊戲。到了2005年夏季,少數腦筋動得快的玩家已經弄明白了真相。

下表顯示的是平常「大贏錢」分配獎金的方法:

6碼裡對中6碼

930萬分之1

頭獎額度不固定

6碼裡對中5碼

39,000分之1

$4,000

6碼裡對中4碼

800分之1

$150

6碼裡對中3碼

47分之1

$5

6碼裡對中2碼

6.8分之1

一張免費樂透彩券

假設頭獎是1百萬元,一張2元彩券的期望值是相當差的:

(100萬元/930萬)+(4,000元/39,000)+(150元/800)+(5元/47)+(2元/6.8)= 79.8美分。

表面上看來「大贏錢」的投注者是精明的投資者,但其實賺頭少得可憐。(通常我們只看到一張彩券才賣2元,不會關注到少得可憐的期望值。)

不過在「向下滑」的那天,情況就很不相同了。2005年2月7日,頭獎接近三百萬元。沒有人中頭獎,那一點也不奇怪,想想看那天大約有四十七萬人買「大贏錢」,要對中所有六個號碼,機會小到約一千萬分之一。

於是累積的獎金開始「向下滑」,州政府的公式把對中5碼或3碼的獎金多增加六十萬元,對中4碼的多增加一百四十萬元。在「大贏錢」裡6碼對中4碼的機率差不多是800分之1,所以在那天四十七萬投注者裡,約有六百位對中4碼。中獎的人數不算少,但是一百四十萬元也是一大筆錢。把它分成六百份,每位對中4碼的人約可拿走兩千元。事實上,你會期望那天6碼對中4碼應可兌領2,385元。那就比尋常日只能贏少得可憐的150元,大幅增加了吸引力。800分之1的機會贏得2,385元,期望值就是

2,385元/800 = 2.98元

換句話說,光是對中4碼,就值回你一注2元的成本了。把別的獎項也算進來,故事就更甜美了。

獎額

中獎機率

預期中獎人數

向下滑的總額度

向下滑後每注獎金

6碼中5碼

39,000分之1

12

$600,000

$50,000

6碼中4碼

800分之1

587

$1,400,000

$2,385

6碼中3碼

47分之1

10,000

$600,000

$60

因此,平均一注可期望賺回家的現金是

50,000元/39,000 + 2,385元/800 + 60元/47 = 5.53元

花2塊可以賺3塊半,這種投資不應該輕易放手。

當然,如果有一位幸運兒中了頭獎,「大贏錢」的其他玩家就贏不到什麼錢了。但是「大贏錢」從來也沒有受歡迎到那種程度,在它發行年代裡的四十五次「向下滑」中,只有一次有人對中六碼,使得「向下滑」半路中斷。

讓我們再講清楚一點,前面的計算並不是說花2元就必然會贏得獎金。恰恰相反,就算是在「向下滑」的日子裡,你買的「大贏家」彩券還是賠錢的機會較大,跟其他的平常日毫無二致。期望值並非你所期望的值!但是在「向下滑」的日子,如果你很難得的中了獎,獎額就大得多。期望值的魔力就在於買一百張或一千張、一萬張彩券,平均的中獎額便會接近5.53元。任何單張彩券也許不值一文,但是當你手握千張彩券,不僅幾乎保證不賠本,而且還有些賺頭。

誰會一次買一千張彩券?

除了麻省理工的那些小伙子,還會有誰?

我之所以能夠告訴你,2005年2月7日「大贏錢」的獎金分配細節,是因為麻州檢察長蘇利文(Gregory W. Sullivan)在2012年7月向州政府提出一份報告,詳盡且坦率的記錄了該次「大贏錢」引人入勝的故事。我可以有把握的說,這是有史以來州政府檢討財務缺失的文件裡,唯一會激發讀者去想:有人買下這個故事的電影製作權了嗎?

摘自數學教你不犯錯下

數位編輯整理:林彥傑

Photo:Susanne Nilsson CC Licensed.

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