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天下文化首頁 主題 九九乘法表不用背
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2015.08.20
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聰明捷徑
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九九乘法表不用背


知名物理學家弗里曼.戴森(Freeman Dyson)與我在紐澤西州的普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study)共進午餐時,對我說:「我認為,強迫孩子學習數學是大錯特錯。」

當時高齡八十九歲的戴森教授過去曾以半個多世紀的時間,推進量子電動力學與固態物理的研究,之後則將注意力轉向賽局理論。

「OK。」我說,「那學校應該教多少高階數學呢?」

他一邊吃著盤中的劍魚,望著我說:「我的看法是,都不要教。」

一個數學天才會說出這種話,真是奇了。

戴森教授解釋,這並不是指我們不需要教育。

「顯然,有些事情是身為一國之民應該要知道的。」他繼續說道。但是,「我們用的是完全錯誤的方法。」

戴森相信,美國學校教育孩子的方式,好比在崎嶇草徑上開車,而非行駛在公路上。罪魁禍首就是強記事實與數字。他說,我們真正需要的,是教導孩子如何利用工具來幫他們算數學。

換句話說,不要再背九九乘法表了,改教小學一年級生怎麼使用計算機。各位父母,各位老師,準備高舉旗子抗議吧。

自從人人買得起計算機之後,學生在校能否使用這工具便一直引發熱烈爭辯。反對使用計算機的主要論點合情合理:孩子該學習的是數學的基本道理,而不是敲敲按鍵就好。

這番辯論其實是十五世紀的歷史重演。當時,義大利算術家正開始用紙筆與公式教數學,取代用計算板或眾多小物來加減數字。這把學者都嚇壞了,他們以為公式與演算法將減損人們的思考能力。當然,結果是那些東西反而讓數學更強大,數學家亦得以藉此發展出一個又一個新的理論。

但計算機不只幫助你算數學,而是直接替你算出結果。

如果少教孩子那些困難的東西,真能期待他們有辦法在世界舞台上與人競爭嗎? 世上最偉大的數學家之一,真有可能提倡這麼做嗎?

從做中學

距離瓦格納博士搭機前往赫爾辛基的機場數小時車程外,住著一位名叫莎曼珊.強恩(Samantha John)的程式設計師。她辭了工作,打算寫出一款電腦遊戲。從她進入理工學校的那天起,她便注意到自己是多麼罕見的族群:在她所唸的大學裡,資訊工程系清一色全是男生。

她後來知道,這些年輕男生很多都是因為曾在十歲到十四歲間打過電動,繼而決定想學習創作電玩,才踏入程式設計的領域。她指出,如果真的很喜歡電玩遊戲,通常就會好奇那是怎麼設計出來的。「大多數人對電玩遊戲的熱愛,不見得多到會想完成最難的那部分。」她說。

她也發現,電玩遊戲通常涉及暴力,裡頭有槍、有賽車,還有穿著金屬製比基尼、揮舞刀劍的女人,可能是為了吸引男生。莎曼珊尋思:「如果有遊戲能夠吸引女生喜歡程式設計,那不是很酷嗎?」

於是她寫出一個iPad應用程式,叫做「小恐龍黛絲」(Daisy the Dinosaur),藉由難度逐漸增加的解謎過程,讓小朋友不必先學程式基礎,也能開始駕馭相關概念(就像小孩熟悉的憤怒鳥等其他觸控螢幕遊戲)。

接著,她開發了一種程式語言,亦即iPad介面的Hopscotch,可讓小孩創造出自己的遊戲、應用程式、動畫等,同樣也是使用類似上述的解謎技巧。

在Hopscotch裡,用手指滑螢幕幾次後,可以建立「如果......那就(If>Then)」的條件陳述,亦即程式設計的主要邏輯。也許你滑出一隻像是卡通烏賊的圖像,底下則有方塊可以拖曳指令,例如「向右轉」。再滑一下,就能讓這隻烏賊重複進行你拖進方塊的那些指令動作:畫個迴圈,或讓烏賊轉圈圈。

這正是麻省理工學院數學家西摩‧ 派普特(Seymour Papert) 所稱的建造主義(constructionism),也就是藉由製作與操控物品來達成學習目標。這種方法在概念精熟與記憶力方面效果格外顯著,而這種方法也幾乎都有輔助平台。

運用Hopscotch,孩子可自行重新打造最喜愛的電玩遊戲,製作動畫卡通,以及開發能解決現實世界問題的程式。舉例來說,有個國二班級學生便運用Hopscotch,替他們輔導的小一生設計數學試題。還有使用者把美國派對常玩的轉瓶子遊戲,製作成應用程式。

這些小孩很多連長除法都不會。但莎曼珊認為那不要緊。「你必須知道自己不會什麼,然後試著加以了解。」她說。Hopscotch是一個平台,牽著孩子的手引領他們學習基本概念,然後鼓勵他們進而延伸學習。

她沒有逼小朋友聽老師講課、回家做習題、乖乖坐在課堂上來學寫程式,而是創造出一種玩具,讓孩子可以出於興趣主動下載動手玩。

研究顯示,若與不使用或不會使用計算機的學生相比,使用這項工具的人會以較好的態度看待數學,將來也比較可能從事科學、技術、工程及數學(合稱STEM)等與計算極為相關的職業。諸如莎曼珊創作的遊戲,當然也是如此。

戴森教授這麼說,派普特也證實,要讓小朋友主動對某個學科產生興趣,就要讓他們動手玩。讓他們堆樂高,參觀博物館,拿工具來實驗。

戴森教授說:「數學應該是種娛樂才對。」

思考方式對了,技能自然跟著來

先別急著下結論。儘管iPad與計算機能幫我們省下力氣、讓某些人想多學習,這是很棒的事,但我們難道不需要起碼先知道自己在加減什麼嗎? 如果不先學數學就拿計算機來用;不先學什麼是程式碼就玩程式設計遊戲,又該如何發現自己什麼地方出錯?

「學習某一科目,一部分是要學習用那門科目的語言溝通。」奧勒崗大學榮譽教授大衛.穆爾桑(David Moursund)博士說。他曾出版超過六十本關於電腦之教育應用的著作。

「我們希望學生在遇到數學相關問題時,能看得出來哪些是適合運用計算機與電腦等工具就能輕鬆解決的。」

穆爾表示,中學以前的數學教育,大約四分之三都花在背誦規則與練習使用規則。他認為,此舉導致學生只剩極少時間可以從事高層次的思考:運用數學解決問題、建立模型或加強對這個世界的了解。

史丹佛大學的研究中心執行長暨世界經濟論壇院士以及美國數學學會會士齊斯.德福林(Keith Devlin)表示,關鍵就在這於:「思考方式對了,技能自然就會跟著來。」

藉由先學會運用工具(計算機),我們其實能更快精通科目本身(數學)。

這便是先前戴森教授所談的重點。他說,從做中學以及運用工具,能幫助我們想要學習,取得快速回饋,而且對數學的理解也比從基礎開始強記事實來得更好。

在這個有手機與維基百科的年代,無法立刻想起波札那第二大城市的名字又如何?重要的是知道如何運用平台取得所需資訊,無論是波札那首都或124,502除以8等於多少。

在這個平台眾多的時代,懂得運用創意解決問題,會比運算能力更有價值。

世界在進步,我們也應該因應新平台的問世,不斷重新審思既有的教育方式。舉例來說,現代兒童應該學習如何使用Excel試算表(以及各種Excel計算),而不是背誦乘法表。與其每個學科都廣而不深,我們應該先教孩子學會利用平台,然後讓他們就其感興趣的領域深入學習。

芬蘭的教育體系正是在這點上發現其平台優勢。

有句名言據稱是愛因斯坦所說:「所謂瘋子,就是不斷重複做同樣的事,卻期望得到不同的結果。」

其實這不是他說的。

芬蘭教育體制的祕密,在於他們提高教師教育水準而建立的平台。芬蘭的公立學校體系所做的事,亦是當初讓哈佛大學的課程與網絡成為學術界欣羨目標的同樣過程:只雇用資歷極為出色的師資,並要求老師密切指導學生。如此一來,唸哈佛(或是在芬蘭唸書)的學生,光從起跑點就領先同儕一大節。

若要學生進步的速度比一般人快,則學校的師資中,便不能只有一位明星老師,而是每一位老師都要很優秀。

芬蘭讓教職變得更吸引人,使得更多人爭相應徵。芬蘭的教師標準也高於其他國家。在芬蘭,教書變成頗具聲望的職業,無論教哪個年齡的學生,都需要有碩士學歷。而且投履歷後能雀屏中選、展開教師訓練的人,只有百分之十。一旦獲得聘用,這些老師通常會做到退休為止。(在美國,大約有一半的老師在頭五年內就會離開教職。)

或許師資學歷高所帶來最重要的好處,在於這些老師更善於教導學童如何學習。芬蘭教育便反映出這一點:他們著重教導學生如何思考,而非思考什麼。瓦格納說,這就是讓學校既有趣又有用的核心關鍵。如同那句據說出自蘇斯博士筆下的話:「擁有知識,不如擁有學習知識的能力。」

芬蘭學校在課程上去蕪存菁,好把時間用來訓練學生實務技能。學生學到的不是抽象理論,而是實做經驗。他們不是天南地北什麼都學個皮毛,而是針對少數科目深入探究。

你可能已經猜到,芬蘭學校完全不限制學生使用計算機。

相較之下,「芬蘭的小孩有概念多了,他們知道必須自行打造未來。」瓦格納博士說。芬蘭教育教孩子成為自己人生的創業家。他們不是消極地站在一條教育生產線上,一味接收事實與數字,而是被丟進磚造房間裡,奉命必須築起一座城堡。

不教學童強記,改教他們使用工具及解決問題,以及只雇用碩士學歷的師資,讓芬蘭創造出一個更高的教育平台,使芬蘭的孩子掌握了優勢。

長久以來,教育上的「創新」使得上課時間變長、要背的東西變多、測驗考試也增加。芬蘭則透過水平思考而有所進步。

於一九六七年提出「水平思考」一詞的愛德華.狄波諾(Edward de Bono)把「愛因斯坦」的那句名言稍微改了一下:「在同一個洞往下愈挖愈深,並無法讓你挖出另一個洞來。」

摘自《聰明捷徑》

Photo:Gatanass, CC Licensed.

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