機率學的世界

關於本書

拉森

在用到數學做深度探索的領域當中，隨機性（randomness）可能是其中最特別的領域之一；從機遇遊戲到量子力學的廣大範圍，都可以（也必須）用到機率理論，以便對觀察到的現象做合適的描述。這本教科書所提供的，是一學期的機率論入門，讀者需要有一些微積分基礎。例子和說明的材料，既有取自自然科學的，也有取自社會科學的，目的就是想要表達機率應用範圍的廣度。

第1章的內容是機率的基本概念，包括把事件做聯集與交集之後，其機率之間的關係。在機率的解釋方面，我們強調相對次數這種解釋，以幫助讀者理解。本章還介紹了條件機率、獨立事件，以及由獨立試驗構成的實驗等重要觀念。對於集合論所用的符號，和基本的計數技巧，本章也做了簡單介紹。

隨機變數出現於第2章，包括連續型與離散型；此處特別介紹了累積分布函數，它既可以描述連續隨機變數，也可以描述離散隨機變數。平均數、變異數與標準差，則可以用來對隨機變數的機率分布，做出精簡的概括描述。本章還有契比雪夫不等式的推導過程，以及利用這個不等式來說明，為何以標準差來度量分布的變異，是一種自然的選擇。連續分布的百分位數也在此章定義，並探討百分位數的應用。離散型與連續型的兩種均勻分布，在本章也都有討論到。

在第3章裡面，我們導出了幾個基本離散分布，這些分布都衍生自一序列獨立的伯努利試驗，對於它們的來龍去脈，在此有詳細的描述；此外還導出這些分布的許多性質，以及這些分布之間的關係。卜瓦松過程，在這一章也有詳細的討論，同時我們從二項分布的極限情況，推導出卜瓦松機率分布；另外也說明了如何用卜瓦松分布來逼近二項分布。雖然在當今這個電腦既便宜又方便使用的年代，或許並沒有必要，但是我們仍然把二項與卜瓦松累積分布函數的值，表列在附錄B裡。附錄A是對有限與無窮幾何級數的討論及相關結果，以利需要的人做個簡單復習。最後一節討論了取出不放回的抽樣方式，並介紹超幾何分布，以及它和二項分布的相似之處。

第4章介紹了許多常用的連續分布；前一章已討論過的卜瓦松過程，在此用來導引出指數分布與厄朗分布；這一章還討論了厄朗分布推廣之後的伽瑪分布。常態分布也在本章做了介紹，並說明如何用它來逼近二項以及卜瓦松分布；標準常態的累積分布函數值，也表列在附錄B裡面。接下來討論的是貝他分布；我們會證明，均勻隨機變數的順序統計量之機率法則，屬於貝他分布。接著討論了怎樣導出經過變換的隨機變數之分布，對於連續型與離散型兩種情形的推導基礎知識，都做了介紹；最後，還討論了機率積分變換（連續型及離散型都有）。好幾個連續分布（對數常數、威布、帕雷托）也在本章裡經由變換而現身。

第5章介紹了聯合機率分布，包括離散型與連續型的隨機變數，都做了簡單說明；大部分的討論和推導，都是針對兩個變數的情況，然而也特別聲明，同樣的方法可以推廣到任意數目的變數上面。這一章討論的內容也包括了邊際分布，以及條件分布這項重要觀念，還有當變數之間互相獨立時，條件分布可如何簡化。此外還討論了多項分布及二變量常態分布；而多變量超幾何分布，也利用例子和習題做了介紹。

多變量情況下的期望值，在第6章中有討論，還有線性函數的平均數及變異數之推導過程，而從這個推導過程，很自然的就引出了兩個隨機變數間的互變異數及線性相關係數的觀念。本章還定義了動差生成函數，以及累積量生成函數、階乘動差生成函數，與機率生成函數，也討論了這些生成函數之間的關係。本章最後一節中談到條件期望值，還說明了怎樣用它來計算二個隨機變數間的互變異數。另外也導出了條件期望值的平均數與變異數，並且用好幾個例子說明了這些觀念的用處。

本書最後一章，討論了二個或更多個隨機變數的函數之分布，包括褶積公式；在討論當中常常用到了條件期望值。許多為人熟知的抽樣分布都是在本章裡面導出來的，包括卡方分布、t分布與F分布。再來討論了極限分布，並導出弱大數法則及中央極限定理。對於怎樣利用中央極限定理來逼近其他分布，也有說明；該定理還可用來導出求n!近似值的史特林公式。對於卡方分布的柯尼許－費雪近似法，也有簡短討論。

除了證明題以外，所有偶數習題的解答，都包括在附錄C當中。

最後，我要感謝Addison-Wesley出版公司的Michael Payne、Mona Zeftel、與Julia Berrisford，為了這本書的問世所給予的鼓勵與協助，同時還要感謝許多為我閱讀初稿的人，謝謝他們給我的建議與指正。

於加州，Pacific Grove

(本文為作者序，拉森為愛荷華州立大學統計學博士)

要能用，必須先讀通

鄭惟厚

這本講機率的書和天下文化的其他書不一樣，它不是科普書；它雖然非常的「科」，但是一點也不「普」。要能讀下去，必須要有適當的背景，也就是微積分，就和大部分機率書一樣。它的主要定位是教科書。

機率書那麼多，這本有什麼地方不一樣呢？首先，許多機率書都「棲身」於統計書當中，命比較好的，至少「機率」兩個字有在書名裡面露臉，比如說《機率和統計》。而很多書名就略過機率，只叫做統計、統計推論、或者數理統計。而在這些書裡面，多半頭幾章都屬於機率的範圍。先講機率，是為了後面的統計做準備；也就是說，在這些書裡面，機率只扮演配角而已。既然是配角，「戲份」當然會比較輕。

專講機率的書裡面，有一部份的「位階」很高，是給研究生讀的，裡面用到很多高階數學，甚至根本就像是數學書。你應該要很慶幸你不必讀這些，而這些也不是我們的比較對象。那麼本書和差不多等級的機率書比起來，特點在哪裡呢？我認為是在於作者不厭其煩的說明。很多機率書的說明都很精簡，讓人感覺一個個的主題不斷冒出來，不知來自何處，也搞不清前前後後的主題之間，到底有怎樣的「親戚關係」。本書作者卻不吝筆墨，對每個主題都詳加解說，而且常常用例子先做說明，讓讀者知道該主題可用在何處，而不會覺得像是天上掉下來的「非禮物」；他尤其注重主題之間的關聯，不時會提醒讀者，使得前後相關的內容能夠彼此呼應。在例子的選擇方面也看得出作者的用心；許多機率書裡面的例子，祇是純粹說明如何演算而已，本書的例子卻大部分都有背景說明，使得例子比較「有血有肉」，也讓讀者了解，所學到的東西可以應用在什麼狀況。

大概極少有人會為了休閒而讀機率書吧？會讀機率，就是因為需要用到，而要能用，必須先讀通，而非模模糊糊、片片段段。假如想要有比較完整的了解，本書應該是很不錯的選擇。

附註：假如你像大部分「正常人」一樣，微積分全部還給了老師的話，我很想推薦兩本書給你：天下文化的《微積分之屠龍寶刀》及《微積分之倚天寶劍》。（在此鄭重聲明，你去買書，天下文化可不會給我回扣。編者請注意，行文至此時，我可是咬牙切齒的。）如果你覺得書名搞笑，你可是完全正確，這兩本還真的是搞笑微積分書。不要不相信我。在我看到這兩本書之前，也不相信微積分書有可能寫成搞笑版，但是結果卻叫我不得不信。對於幾位作者，我真是佩服得五體投地；當然譯者也絕對功不可沒（同行要捧一下，這樣有朝一日別人可能會投桃報李）。讀這兩本微積分書，可以讓你在輕鬆愉快的心情下，做好讀我們這本機率書的準備，之後就要開始過苦日子了。

(本序文作者，鄭惟厚現為淡江大學數學系教授。)

鄭惟厚／統計學專家 鄭惟厚，美國愛荷華大學統計博士，淡江大學數學系教授。著有《你不能不懂的統計常識》，獲2008年吳大猷科普著作銀籤獎，並入圍行政院新聞局第32屆金鼎獎最佳科學類圖書。譯有《統計，讓數字說話》、《毛起來說e》、《統計學的世界》、《看漫畫，學統計》、《機率學的世界》、《別讓統計數字騙了你》等。