賺錢的數學

算出理財金頭腦

莫頓．戴維斯　紐約城市大學的數學教授

本書從一個數學家的角度看經濟與財務問題。這不是一本教你「如何做」的書，也不是鉅細靡遺、講求精確的寶典，更沒辦法擔保你一夜間發大財，可是這本書能激發你的想像力，讓你不必反覆計算就能勾畫出投資藍圖。讀者最好有數學基礎，但要求並不高，只要有高中代數的程度就行。大部分時候，我會多用文字解釋，少用算式。就算因內容需要而出現公式，我也不會介紹無謂的公式推導或證明。

本書強調觀念的建立，所以我會省略現實世界中的繁瑣細節，如稅金、佣金、各種手續費等等。請想像我們處在一個理想世界中，購入的資產可用和買價相等的價格再賣出，而且貸款利率等於放款利率。

此外，你會在本書中看到各種違反直覺的矛盾現象。為了挑戰你的直覺，每章開頭都有一些題目，讓你牛刀小試一番。大膽運用常識判斷找出答案，很多時候你將發現，解答和直覺反應完全相反，希望這些解答多多少少能讓你嚇一跳，好激起你繼續探討的興趣。

這麼說來，本書根本沒有實用價值嘛？才沒這回事！雖然討論內容的假設基於理想世界，也有許多限制，但得出的結果依舊非常實用。比方說：

有個創業基金投資人，有機會重複投資於自己熟悉的產業，他知道投資成功或失敗的機率、財務報酬多寡。他投資定額資金，想知道在每個不同的產業該投資多少，才能獲得最大投資報酬率（這種情況很常見，號子營業員和保險公司也會面臨相同問題）。假設他每投資1元，會賺回2元或損失1元，且成功和失敗的機率各占一半。

這種成功機率很高的投資常令人躍躍欲試，許多人因而投入資本的一大部分來做這種投資。但事實上，如果真的長期花大把鈔票做這種投資，且每次都投入半數以上資金，則落得輸家下場的機率會高得驚人（雖然平均報酬會非常高），雖然長期而言，由機率看來，這樣的投資似乎會成功，但實際情況卻非如此。想在最短時間內得到報酬，僅僅投入資本的25%才是最佳策略。你看，這不就是違反直覺卻大有用處的知識嗎？

再看看另一個違反直覺的例子：假設A、B兩家公司的股票各是100元，兩家公司的買權（call option）皆在一年後到期，執行價格（strike price）皆為65元。這兩家公司正在爭取一筆重大的工程合約。如果A拿到了，股票一年內會漲到160元；如果沒拿到，股票一年內就會跌成60元。同樣地，如果B拿到了，股票一年內會漲到120元；如果沒拿到，股票一年內就會跌成40元。哪一家公司的買權價值較高？這個問題的答案不但違反直覺，你還會十分訝異地發現，爭取到合約的機率或風險的偏好程度，與答案一點關係都沒有。

最後一個例子：你的股票經紀人為你服務多年，你發現他投資成功的機率高達九成。這時你想叫他幫你找一張明牌，一支可在一年內賺三倍的股票，機會僅僅千中選一。現在你隨便找支股票問他是不是明牌，如果是明牌，有九成機率他會說「是」﹔如果這支股票不是明牌，他有一成的機率會說「是」。如果經紀人告訴你這支股票是明牌，那麼真的是明牌的機率是多少？你認為機率是0.9嗎？告訴你，真正的機率連0.9的百分之一都不到。

在利率這章中，我們告訴你，一般的貸款利率可能實際上多達銀行所宣稱的二倍，而分年攤領的彩券獎金，可能比彩券公司宣稱的名目金額（nominal amount）要少了一半以上。你還會學到所謂「零風險」債券所產生的風險，以及如何正確掌握債券，使風險減到最小。此外，如何減低貸款壓力及有效積存退休基金，以確保退休後維持一定的生活水準，也在討論範圍之內。

本書針對一般大眾而寫，而不是一本教科書。除了少數例外，大部分的數學都十分簡單易懂。我們雖不預設讀者有任何數學或經濟學背景，但是希望你對這方面的問題至少有好奇心，那麼你讀起書來才會興味盎然。