希爾伯特的23個數學問題

淺談「希爾伯特問題」

胡守仁　淡江大學數學系教授

這裡有個問題，找出答案；
你一定能用有限多步的推演找出來，
因為在數學中並沒有「我們永遠不會知道的」。──希爾伯特

科學研究的目標就在於解決問題，這些問題可能出於實際需要，可能由經驗衍生，也可能就是心靈自主產生出來的。「任何科學領域只要能產生充裕的問題，就充滿了生命力；問題匱乏了，就是死亡的標誌，或是發展停頓的先兆。」然而哪些問題是重要的，是急於解決的呢？又要以怎樣的態度面對問題，解決問題？問題怎麼樣才算解決了呢？1900年8月8日，在巴黎的第二屆國際數學家大會上，希爾伯特就闡述了他在這方面的觀點，並具體的提出了23個問題，幾乎涵蓋了數學上各個重要領域，影響了一個世紀數學的發展。

許許多多數學家爭相加入希爾伯特問題的資優班，他們對這些問題的投入與解決促使了數學的發展，新的領域誕生了，舊的領域得到了新生命。這些問題，有些十分明確，有些卻相當廣義，有些難度很高，部分解決就足以享有盛名；有些也隨著問題的解決而煙消雲散。而當數學家投入這些以及其他問題的時候，隨著時代的發展，和全體人類一樣，免不了各式各樣的干擾紛爭。這本書就是有關這些問題、其發展與解決，以及其間數學家的喜怒哀樂。

本書不僅對希爾伯特問題的發展與解決過程有相當的介紹，也談到其中牽涉到的數學家與數學思潮。從中我們可以看到數學家對待問題的態度，從事研究的方式。很多數學家即使在不順的環境下仍然十分執著，不管自己的貢獻是否得到應有的承認。

從「問題」談起

希爾伯特在提出他的問題之前，特別談了談「問題」這樣東西。數學問題有些來自真實世界，但是心靈自主的思考也能造出問題。因此有像伯努利的最速降線問題，也有像費馬大定理那樣的問題。在許多不同的數學問題中，有些想法與方法有相當的相似之處，這都是經驗與思維不斷重複互動的結果。對希爾伯特而言，數學並非一堆不同的東西，而是具有一致性、充滿生命力、不斷演進的整體。

那麼如何面對問題呢？有時候要先研究特殊的情形；特例都沒辦法處理，一般情形更無從下手了。有時候又該把問題放在更大的框架中來看，才能明白問題的真諦。至於問題怎麼才算解決呢？希爾伯特則認為應該有一個論證，由有限個明確的假設出發，經由有限步驟的推演而得到結論，這樣才能保證解法的嚴謹性。

希爾伯特說，數學問題是無窮無盡的，一個問題解決了，又會冒出許多其他問題。那他認為揭開了未來帷幕的問題又是什麼？本書作者將這些問題分為四大領域，實際上有些問題是跨領域的，有些在發展過程中，在方法上、工具上都有所創新，很難說是屬於哪一領域的。

希爾伯特所提問題中有一部分可歸屬於基礎的問題，例如連續統假設（問題一）、算術公理的相容性（問題二）是有關數學基礎，而等高等底四面體的問題（問題三）及直線為最短距離的問題（問題四）屬幾何基礎。李群的問題（問題五）及物理學的公理化問題（問題六），也是特定領域的基礎性問題。 對希爾伯特而言，所有數學問題原則上都有解，應該都能由一些公理出發，經由有限步驟的推演而得到結果，因此公理對理論的整合扮演關鍵性的角色。即使像物理這樣的學科，也不能任由人們把深入的觀察或假設奉為公理，而不考慮彼此之間是否相容，否則新的實驗出現後，怎麼知道哪些眾以為是的宣稱會垮掉。

本書中的數學有些其實相當難，大概不容易完全了解，不過我們總可以明白個脈絡──其實數學家有興趣的就是數和形，他們數起數來就是「1、2、3、許多」。在此，我就把希爾伯特的23個問題大致整理介紹一下。

代數問題

這23個問題中代數方面的問題不少，很多都與數論相關，例如某些數的無理性及超越性問題（問題七）、質數問題（問題八）、一般的互反律問題（問題九）、丟番圖方程的可解性（問題十），還有二次形式的問題（問題十一）。

其中以問題七問得最確切，解決得也很明確。質數問題則包含極廣，孿生質數的分布、哥德巴赫猜想、黎曼假設都在其中，大部分至今都尚未解決。一般互反律的問題，是要把高斯的二次互反律推廣到任意次數及任意數域上。有關丟番圖方程的可解性，希爾伯特希望有個方法能在有限步內決定一個整係數（廣義的）方程式（丟番圖方程）是否有解，（他心目中想的恐怕是類似用伽羅瓦理論決定是否有根式解）。至於二次形式問題，探討的是一般的二次形式理論。

其他與代數相關的還有克羅內克定理的推廣（問題十二），多變數函數可否用少一點變數表示（問題十三），不變量之有限生成等問題（問題十四），及〔半〕正定形式之平方表示（問題十七）。希爾伯特有關問題十二的敘述並不全然正確，也因此造成了不少誤解。問題十三是用參數做出曲線族來解方程式，考慮這種方式的可能性。問題十四是希爾伯特問題中唯一與不變量理論相關的題目，而這個領域正是希爾伯特嶄露頭角的領域。問題十七要看看值恆正的多項式是否能以平方和表示之。 問題十五有關舒伯特計數演算的問題，問的事是如1個二次曲面與9個二次曲面有幾種相交的情形？答案是666,841,088種。希爾伯特要的是個嚴謹的證明。

幾何、拓樸與分析問題

希爾伯特問題中與幾何或拓樸相關的題目包括：代數曲線與曲面的拓樸（問題十六）、由全等多面體建造空間（問題十八）等。問題十六有一部分問的是，給定次數的實代數曲線可能有的圈數及排列情況，第二個部分則有關偏微分方程的極限圈位置及其數目。問題十八是由三個與群作用相關、但彼此之間關連並不大的問題組成；包括多面體的全等、基本域及裝球問題。

還有一部分就是與分析及應用方面相關的。問題十九、二十及二十三圍繞著相同的主題，在二十世紀有極大的成長。問題十九討論某類偏微分方程解的正則性問題，問題二十則問到了一般邊界值給定時解的存在性，把這些問題看成有物理意義的問題時，唯一解的存在及正則性就很明顯，在這件事上數學家及物理學家看法相當分歧。問題二十二是想用適當的函數把代數曲線單值化的問題，問題二十一則是探討單值群給定時，線性微分方程的存在性。

希爾伯特問題不只是給數學家許多好的、有意思的數學題目，促進許多數學領域的發展，更在思潮上影響了數學的發展方向。問題十二雖然至今仍未解決，但高木貞治所引入的類域論目前仍蓬勃發展。哥德爾和柯亨的工作似乎毀了希爾伯特對所有問題都可解的樂觀看法，但布勞得（Felix Browder） 在美國數學會最近一期的《數學公告》上卻認為，他們大大推動了現代對數學基礎的研究，而這恐怕是希爾伯特問題中影響最大的部分。

許多問題往往一波三折

許多希爾伯特問題的解決過程中轉折甚多，有時也免不了這世間的各種紛紛擾擾。以問題十為例，它問的是能不能有個有限步驟的過程決定整係數多項式是否有整數解，這也是希爾伯特對有限過程感興趣的一個例子。這個問題的解決就是超越冷戰的跨國合作。

許多希爾伯特問題的解決過程中轉折甚多，有時也免不了這世間的各種紛紛擾擾。以問題十為例，它問的是能不能有個有限步驟的過程決定整係數多項式是否有整數解，這也是希爾伯特對有限過程感興趣的一個例子。這個問題的解決就是超越冷戰的跨國合作。

當時美國數學家羅賓森、普特南及戴維斯投身問題十的研究已久，而蘇聯的馬蒂亞塞維奇也剛好碰上這個問題，但他並無機會看到美國人的工作。有一次，羅賓森輾轉讀到馬蒂亞塞維奇一場演講簡短的筆記，也只有浸淫這個問題許久的她，才能由那麼少的資料重建馬蒂亞塞維奇的證明，因而與他取得聯繫，兩人就這樣隔海交流。雖然因為政治因素，馬蒂亞塞維奇無法赴美參加會議，但兩人仍能超越了人為阻隔，共同發表論文。1970年，馬蒂亞塞維奇證明這種有限步驟並不存在。

希爾伯特問題中有許多都不只解決一次。對於問題，數學家喜歡自己動手弄弄，有時候是不喜歡別人的方法，有時候是搞不懂，有時則是因為理解不同而不太相信別人。例如，1926年阿廷解決了實封閉域的問題十七，雖然他的方法很嚴謹，然而很多人不喜歡他的方法，因此在往後的30年，有不少人投身於從各個不同的數學領域，找尋合適的方法。 又如問題二十一，有關已知單值群的微分方程存在性的問題，普萊梅傑於1904年給出了肯定的答案，甚至伯克霍夫也確認了這個答案，卻在85年後於1989年被阿諾索夫及玻里布魯克以理論及反例給推翻了，因為他們認為希爾伯特的注解得重新想清楚點。

希爾伯特問題歷經一個世紀，其中經過兩次大戰和冷戰時期，數學家也隨著社會脈動加入這派那派，成為壓迫者或者遭受這樣那樣的迫害，但是數學的進展似乎並未停頓。很大的一個原因恐怕是不管納粹、共產黨還是什麼政府，或許都能從數學圈中找些顧問，能控制預算，卻不懂這些人在說些什麼，也並不十分在意。倒是數學家對於純粹數學與應用數學的論戰，始終未曾停歇，希爾伯特常常就給扯進來了，書中對這點也有不少描述。

一些感想

雖然從事數學的教學和研究工作也有不少日子，但在翻譯本書時，的確受益不少。許多小故事都令我會心一笑。譬如布魯門托（希爾伯特的大弟子）有一次去見希爾伯特，十分沮喪，因為他看到他正在做的一個題目給發表了，希爾伯特的回答竟是：「你幹嘛讀那麼多論文？」他認為什麼東西自己動手就是了，總不能把別人做的東西全弄懂了才開始做題目，穆爾教學法就是以動手解決一連串精心設計的問題來學習。

翻譯布爾巴基那段，也令我回想起大學的日子。那段時間正是「新數學」盛行之時，自然當時我並不知這也可以扯上希爾伯特。我只知道那時候布爾巴基的書相當流行，隨便請教人家一下，就叫你去念布爾巴基，老實說不管是集合論還是拓樸學，當時可是大大沒念懂。寫得那麼一般，也難怪後來在法國中小學的數學教育都怪罪布爾巴基搞什麼新數學，過度強調數學的一般性，而非有趣性、了解性及特殊性。

新世紀，新氣象

希爾伯特問題導致理論上重大的發展，這一點是無庸置疑的。許多數學家因解決希爾伯特問題而聲名大作，也有些人的貢獻給遺忘了。（研究問題十六的拉格斯戴爾就是個例子。）但我們仍然可以說，希爾伯特問題的故事描繪出數學的許多面貌，它實際上證實了希爾伯特的確揭起了未來的帷幕，而且相當程度在塑造未來上起了作用。事實上，正如希爾伯特指出的，問題有了答案，並不代表事情就完結了。好問題應該引出更進一步的問題。

上個世紀大部分的時間裡，數學都有種抽象化、結構化的傾向，而這與希爾伯特脫不了關係。現在我們進入了另一個時代，更認同應用數學、數學的多樣性，及更坦誠的解決問題。正如希爾伯特在演講一開始指出的，每一個時代都有自己的問題──就在2000年，克雷數學中心（Clay Mathematics Institute）提出了七個（有獎）問題，希望在本世紀解決。無論如何，正如希爾伯特在演講結束時所說的：「數學中的有機一致性是這個學門的固有本質，因為數學是所有自然現象確切知識的基礎。希望它能完成這項高尚的任務。」 2002年8月，本世紀第一次國際數學家大會於北京召開。「願新世紀帶來天賦秉異的大師，及許許多多熱切投入的門徒。」我們拭目以待。

英國公開大學（Open University）數學史教授，目前是英國數學史學會委員、國際數學史委員會的會員，及《Archive for History of exact Sciences》等期刊的編輯委員。

芝加哥大學數學博士、淡江大學數學系教授（2013年退休）。譯有《希爾伯特的23個數學問題》、《連結》、《最ㄅㄧㄤˋ的數學公式》、《妙不可言的數學證明》、《數學家是怎麼思考的》、《速算力》、《看漫畫，學微積分》、《隨機法則》、《毛起來說三角》（以上為天下文化出版）、《打開魔術箱》、《拼圖拼字拼數學》（以上為遠流出版）、《數字奇航》（時報出版）等。