質數魔力（下）

前言

德比夏爾

1859年8月，黎曼（Bernhard Riemann）由柏林科學院甄選為通訊研究員，時年32歲，對於那樣年輕的數學家而言，這是一項極高的榮譽。依照當時的慣例，新研究員要向科學院提出一篇論文介紹他正從事的研究工作，黎曼的論文題目為：〈論小於某已知數的質數個數〉。

黎曼的這項研究是針對普通算術裡一個直截了當的問題，我們要認知這個問題，只要先問：有多少個質數小於20？答案是共有八個：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19；簡單吧，點算一下就行了！可是，小於1,000的質數有多少個呢？那麼小於一百萬的質數呢？小於十億的呢？有沒有一項通則或是某個公式，可以找出答案，好讓我們省卻一個一個點算的麻煩呢？

黎曼用他那時期最尖端的數學方法，來推敲這個問題，所使用的數學工具，甚至到今天仍然只有大學的高年級課程才會討論到，他也為自己的意圖發明了一個強有力且精微的數學物件。在論文的三分之一處，他替該數學物件作出一個猜想，然後指出：

當然我們都願意對此（一猜想）作出嚴謹的證明，但是經過一連串徒勞無功的嘗試之後，我決定暫時把尋求這項證明的工作擱置，因為我的研究工作對這項證明並沒有立即的需求。

黎曼不經意的猜想，數十年下來幾乎沒有人注意，後來因為一些理由（那正是我寫本書所要說明的），這個猜想漸漸捉住數學家的想像，終於達到一種令人如醉如癡乃至著魔的境地。

這個猜想，現在稱為黎曼假設（Riemann Hypothesis），經過了整個二十世紀，魅力依然不減，總是抗拒每一個證明或反證的嘗試。時至今日，由於許多其他的老大難題近年來已然解決，例如四色定理（源於1852年，1976年得到證明）、費馬最後定理（約源於1637年，1994年得到證明）、以及一些較少為職業數學家之外的世界所知的問題。現在，黎曼假設已成為數學研究的大白鯨，是人人競逐的榜首難題。

整個二十世紀中，數學家都聚精會神於黎曼假設。在這兒我把希爾伯特（David Hilbert），他那個時代最前端的數學家，於1900年8月在巴黎召開的第二屆國際數學家大會（International Congress of Mathematicians）所發表的演說，摘錄一段如下：

在質數分布的理論方面，近來有阿達瑪（Hadamard）、瓦萊普桑（de la Vallée Poussin）、馮曼高特（von Mangoldt）、以及其他一些人得到了部分的基本進展，然而，為了替黎曼的論文〈論小於某已知數的質數個數〉所提出的問題尋求完整的解答，黎曼那極為重要的陳述是否真確，仍然有待證明……

接下來他指出，那極為重要的陳述就是黎曼假設。過了一百年之後，美國普林斯頓高等研究院院長、曾任哈佛大學數學系主任的數學家格利費斯（Phillip A. Griffiths），在發表於2000年1月號的《美國數學月刊》的文章〈二十一世紀的研究挑戰〉中寫道：

儘管二十世紀已得到十分巨大的成就，仍然有數十個重要問題尚待解決。我們大多會同意下述的三個問題是最有意義及最具挑戰性的。
黎曼假設──為首的這個問題，已經把數學家作弄了一百五十年……

二十世紀的最後幾年裡，美國國內有一項有趣的發展，就是興起一些由富有的數學狂熱者捐獻成立的數學研究機構。其中，克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）和美國數學研究所（American Institute of Mathematics）都對準黎曼假設做為研究對象之一；前者由波士頓的金融家克雷（Landon T. Clay）於1998年成立，後者由加州企業家法萊（John Fry）於1994年創立。克雷數學研究所提供一百萬美元做為獎金，獎勵能提出證明或反證的人；美國數學研究所舉辦了三次大型會議（1996年、1998年及2000年），專門討論黎曼假設，吸引了全世界的數學研究者參與。至於這些新的努力與獎勵是否能解開黎曼假設之謎，尚待觀察。

與四色定理及費馬最後定理相比，黎曼假設不同之處在於難以用普通的詞彙來敘述，沒有數學背景的人不容易懂；它隱藏於某些艱難的數學理論深處。下面即是它的陳述：

黎曼假設
zeta函數所有的非明顯零點
實數部分都是1/2

對一般的讀者而言，即使受過良好的教育，但不曾有過高等數學訓練的話，上面的陳述大概比甲骨文還難懂！本書一方面介紹黎曼假設的歷史，以及許多與它有關的人物；一方面我亦企圖只使用剛好足以瞭解黎曼假設所必需的數學，把這艱深且神祕的結果引導至一般讀者都能懂的程度。

本書的架構非常簡單，所有奇數章（我本來想用所有「質數」章，但是天下事無法全如人願）的內容做為數學推演，希望能循序漸進，導引讀者瞭解黎曼假設和它的重要性；偶數章則主要用來介紹歷史背景和人物傳記等等。

我原來打算將這兩條路線分頭處理，讓不願看方程式及公式的讀者只讀偶數章，而不在乎歷史和傳說的讀者僅讀奇數章，但我自始就未曾很堅持照這樣的計畫去做，現在我則懷疑，對這麼錯綜複雜的題目能否辦得到。不過，這基本的架構並未全然放棄，奇數章仍然有較多的數學，偶數章則少了很多，而你當然可以隨你的喜好，選讀其中一類。可是，我希望你閱讀全書。

我將本書呈獻給好學又好奇、卻不具數學背景的讀者，這樣的說法當然會引起一些疑問。所謂「不具數學背景」指的是什麼？有多少數學知識，是我認為我的讀者應該具備的？

這麼說吧，每個人都知道一些數學，受過教育的大多數人或許對微積分是幹什麼用的，至少有點印象，我想我將本書的讀者程度設定為：凡是修過高中數學，並且繼續選修過兩門大學數學課程的人。我最初的目標，其實是想完全不用微積分來解釋黎曼假設，結果發覺我稍微過於樂觀。本書有三個章節要用到非常少量且十分基本的微積分，遇到時我會再加以說明。

其餘的計算大多僅是算術與基礎代數：像是把 (a + b)×(c + d) 這般有括弧的式子展開，或是將方程式S = 1 + xS重新整理成S = 1∕(1 - x) 等等。你也要有意願學習數學家為了省省手勁而用的古怪符號。我敢大膽作如下的聲明：我不認為還有比我所用更簡易的數學，能解釋黎曼假設。因此，若是你讀完本書之後仍舊不能明白黎曼假設，幾乎可以完全確定沒有別的方法讓你懂了。

＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊

我有一種相當的迷信，認為用感情和愛心寫出來的任何一本書，都有一個內蘊的精靈。不過我所指的僅只是關於某一個特定人物的書，作者寫書時他就活在作者的心中，而書中也就遍塗上他個性的色彩（如果是一本小說的話，恐怕這號人物常常即是作者自己）。

內蘊於本書的精靈就是黎曼，當我寫作的時候，常常覺得他在我背後偷看，有時候我會幻想聽見他就在相通的鄰室，輕輕的清他的喉嚨，或者在我的數學與歷史兩種章節的背後，像在沉思般的游移。從認識他以及研究他的生平，我對他生出一種奇特混雜的感情：他的缺乏社交能力、極差的健康狀況、再三失去親人的遭遇、以及長期的窮苦生活，讓我的同情心油然而起，而他的心智所展現的非凡力量，則使我產生畏懾之情。

一本書應該奉獻給活在世上的人，那才真正獻上喜悅。我將本書獻給我的妻子，她深知這奉獻是多麼的誠摯。然而在本前言中不可不提的另一重意義，就是本書最適當的擁有者應該是黎曼，他在短促的生命裡受盡各種不幸的折磨，卻給予人們許多許多永恆的價值──包括讓後世一百五十多年來持續苦惱的一個問題，而個性羞澀的黎曼，指出他自己對該問題的解答已經做過「一連串徒勞無功的嘗試」。

德比夏爾
2002年6月

精采的書。

──納許（John F. Nash），1994年諾貝爾經濟學獎得主

黎曼假設是所有數學的未解問題中，最艱深的難題之一， 要想精確陳述該假設的內涵，是非常困難的工作。 現在有人能夠用淺顯的語言來寫書介紹， 讓學習普通數學的學生，甚至普羅大眾， 都可以知道黎曼假設是什麼，確是令人興奮的事情。 讓我們為德比夏爾終於完成此壯舉歡呼三聲！

──葛登能（Martin Gardner），《科學美國人》「數學遊戲」專欄著名作家

《質數魔力》引導讀者縱觀最著名的數學謎題所歷經的兩百年歷史； 黎曼假設之中的公式、思索及意義， 每樣都代表浩瀚的數學思想領域， 《質數魔力》很內行的把這些全都掌握住了……

──賈菲（Arthur Jaffe），哈佛大學教授

《質數魔力》敘述大部分數學家公認最重要的待解問題， 內容豐富，易於理解，並且文筆絕佳。 德比夏爾不只告訴我們此問題背後的故事， 也介紹了所有必須具備的相關數學知識， 以及人們嘗試破解這問題的詳細歷史。

──德福林（Keith Devlin），史丹福大學教授

主修數學及語言學，曾擔任系統分析師，曾寫過小說。目前是《National Review》雜誌、《New Criterion》雜誌專欄作家。

生於廣州，成長於台灣最艱困時期，曾就讀海軍官校，台大物理系畢業，美國普度大學物理博士，主修實驗固態物理。曾任教於清華大學，後移居美國，任職電子工程師。

工餘及退休後，輒常撰寫科學新知投刊於海外華文報紙，有〈量子電腦的發展〉、〈火星上生物之謎〉、〈大陸生態環境破壞的事實〉。
譯作有《十月的天空》、《觀念物理4：聲學‧光學》、《觀念物理5：電磁學‧核物理》、《牛頓（上）－最後的巫師》、《牛頓（下）－科學第一人》、《數學妖法》、《阿基米德幹了什麼好事！》、《質數魔力（上）－橫跨兩世紀的狂熱》、《質數魔力（下）－百萬美元大挑戰》、《居禮們：一個傳奇的家族》、《時光旅人》（皆為天下文化出版）。