日常小事怎麼大失控？當心「指數成長」的驚人威力！｜《社會菁英必備的數學素養》

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足球員轉會費高漲

大家可能發覺，足球員轉會費已經完全失控了。足球員以6千萬英鎊、甚至更高的金額轉會，早已見怪不怪。上一章我提到，內馬爾於2017年的轉會費打破了紀錄，實際金額為1.98億英鎊。比較一下，史上留有紀錄的第一筆轉會交易發生在1893年，由我支持的阿斯頓維拉足球俱樂部，以100英鎊的「天價」買下了蘇格蘭前鋒格羅夫斯（Willie Groves）。轉會費從格羅夫斯的100英鎊，衝高到內馬爾的1.98億英鎊，僅僅費時124年，聽起來十分不可思議。未來還有可能出現更高的轉會費嗎？轉會費高達10億英鎊的足球員，有可能出現嗎？

前面我已經提過，要初步瞭解資料的絕佳方法，就是將資料畫在圖表上。從維基百科下載依時間排序的轉會費破紀錄表格，然後繪製成圖，觀察隨時間的變化，並不會太困難。從右頁的圖可以清楚看到，近期才開始出現轉會費衝高到失控的狀況，與我們的印象相符。圖中可以看到1980年以前，世界紀錄幾乎沒有增加，甚至要到2020年以後，轉會費才明顯爆衝。

然而，本章將會提到，這是因為採用這種繪圖方法，才讓人產生誤解。實際上，足球員轉會費正是一個指數成長（exponentialgrowth）的例子，如果使用對數刻度（logarithmic scale）來繪製另一種不同的圖，就能更清楚瞭解轉會費紀錄的進展。

雖然我們在第1章〈一張好圖勝過千言萬語〉看到的一些多項式曲線頗具意義，也非常實用，但還有另一種指數曲線，也能準確預測某些現象的未來發展。指數成長經常出現在生物學問題中，例如細菌繁殖或人類繁衍；也能應用在金融和經濟領域，例如金額隨時間的成長；還有新一代電腦的效能變化等等。藉由瞭解指數成長，我們就能更清楚瞭解上述過程。而藉由正確繪製指數成長過程，就能夠更容易推論這些成長現象。

指數函數可以用看似十分簡單的方式來描述。對比第1 章提到，每天「加上」固定移動距離的航海家太空探測船，指數函數則是每天把上一個數值「乘以」固定值。從「加」改為「乘」聽起來變化不大，但這看似影響不大的差異，卻讓先前看到溫和的線性行為，轉變為更加無法控制、且可能潛藏危機的指數行為。驚人的指數成長指數成長過程的經典例子，就是會定期分裂成兩半的細菌。

如果每隻細菌每小時會分裂成兩隻，則我們能夠輕易計算出細菌群體的大小。例如，假定午夜時有1隻細菌，凌晨一點就會有2隻、凌晨兩點4隻，到了凌晨三點則變成8隻。目前為止，就如同轉會費的圖形一開始的部分，看來都還在控制範圍內，實際上指數成長的初期階段看起來可能十分平坦，很可能會被誤以為是線性成長（linear growth）或二次成長（quadratic growth），但這樣的狀況並不會持續太久。事情很快就完全失控。到了早上八點，細菌又倍增了五次，成長到256隻；中午十二點時成長到4,096隻；隔天午夜則會成長到16,777,216隻。

指數成長一開始的成長速率，和線性成長的差異難以用肉眼區分，但很快就超越了線性成長速率。這就是指數過程普遍的特徵：利用數學可以證明，只要時間夠長，無論指數成長設定的速率大小為何，最終都會超越任何速率的線性成長。事實上，指數成長最終都會超越任何第1章提到的多項式過程（二次、三次或六次）。

這就是為什麼在建構模型時，過度僵化依賴多項式過程，可能會讓觀察者產生錯誤的安全感，蒙蔽了真相，進而引發危機。特別危險的問題出在：指數過程絕大部分的成長貢獻，都來自於後期的成長。這意味著在疫情爆發期間，醫療院所可能會從控制良好，突然間變成完全失控。

另一個能幫助我們瞭解指數成長的例子，就是核連鎖反應。如果使用中子撞擊鈾-235原子，鈾-235原子就會分裂，釋放出更多中子與一定的能量。假設核分裂釋放出兩個中子，則這兩個中子隨後會撞擊更多鈾原子，產生雙倍能量。在下一回反應中，則會釋放出四個中子，產生四倍能量，以此類推。與細菌繁殖不同的是，每一回的反應時間可能都只需要幾百萬分之一秒，也就是說，一瞬間釋放出的能量就可能十分巨大。這正是1945年在廣島投下的核分裂原子彈的爆炸原理。只要裝入足夠的鈾原料，並且將原子彈外形設計成中子難以逃逸的形狀，能量釋放就會呈現指數成長，極短時間就已經足以夷平一座城市。

當然，比起真實世界，永無止境的指數成長更可能只會在數學世界中發生。固執認為事物會無限制指數成長下去，顯然過於愚昧，因為在真實世界中，指數成長的規模終將受到限制。例如細菌群體大小可能受限於容器大小，或者受限於分裂後的新細菌生長所需的養分含量。同理可知，鈾原料多寡會限制核連鎖反應時間的長度，也就限制了特定原子彈能夠釋放的總能量。然而，全球各地新冠肺炎疫情一波又一波爆發，不斷向我們證明，指數成長的結果，已足以對醫療照護系統造成重大打擊。

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