雪花的美麗並非偶然

想像一塊三角形，每邊長一英尺，再假設某種特殊、定義明確又易於複製的轉換規則。比方將每邊中間三分之一的區域，再貼上一塊新的三角形，形狀和原來相同，但邊長只有三分之一。
結果即是大衛之星(六芒星)。原來每邊一英尺的等邊三角形，現在有十二段四英寸長的線條；原來只有三個頂點，現在有六個。

現在再用這十二段邊線重複進行同樣的變形，在每邊中間的三分之一處，加入一塊更小的三角形，如此無止境重複，愈來愈瑣碎，輪廓愈來愈細膩，看上去像某種想像的雪花。這就是膾炙人口的卡區曲線（Koch curve）。這條既非筆直又非圓形的連結曲線，是瑞典數學家范卡區（Helge von Koch）1904年首創的。

仔細尋思，卡區曲線包含一些饒富趣味的特性。首先，它是一根連續的迴圈，自己和自己並不相交，因為在每一邊新加上的三角形都很小，正好不會碰撞到一塊兒。如果你在原始三角形外圍畫一個圓圈，卡區曲線絕不會擴張到圈圈以外。卡區曲線實在是件怪物，完全脫逸我們對形狀合理的直覺。艾菲爾鐵塔就是一座很好的三維近似體，它的橫樑、鋼架和桁骨交織成精緻的晶格，一件飽含細節的神妙網路。

探索這些形狀，讓心靈觸角撫摸各種像柔軟橡皮的邊緣，就像玩遊戲。透過心眼凝視，碎形通往無涯之涯。

摘自《混沌》

數位編輯整理：林柏安，邱千瑜
Photo：İnci Mercan, CC Licensed.