其實攸關貧富與生死的數學並不難！選擇障礙必備的37%法則

尼克．宏比（Nick Hornby）在1990年代寫下《失戀排行榜》（High Fidelity）這部經典小說，主角佛萊明（Rob Fleming）熱愛音樂，開了一家二手唱片行「冠軍黑膠片」。佛萊明會定期把自己的大量唱片依照不同的系統重新排列：可能是按字母順序、時間順序、甚至是按自己的生命自傳來排列（依自己買這些唱片的時間，講出自己的人生故事）。

像這樣重新整理的舉動，除了對音樂愛好者來說有種情緒宣洩的效果，也可以用來迅速查詢及記資料，展現其中不同的特色。就像是整理電子郵件的時候，只要點一下就能選擇排列方式是依日期、寄件人、或是郵件主旨，這正是電子郵件的客戶端執行了一套有效率的演算法來做分類排序。

而在eBay上，你可以選擇要用「精準度」、「價錢由低到高」或「即將結束」來排序，這也是因為eBay用了有效率的分類排序演算法。

至於谷歌，在它判斷了各個網頁與你搜尋的關鍵字匹配程度後，也需要迅速加以排序，用正確的順序顯示。人們夢寐以求的，就是能實現目標的高效演算法。

最佳停止時機

上面提到的某些最佳化演算法，都是以大規模施行的方式來取得商業利益，似乎會讓人覺得，只有科技龍頭才有辦法使用那些背後的數學道理。但也有一些更直接簡單的演算法（雖然隱藏的數學原理很複雜），可以為日常生活帶來一些微小但重要的改善。其中一類稱為「最佳停止策略」（optimal stopping strategy），能讓人知道在決策過程中何時該停止選擇，開始實際行動。

比方來說，假設你和另一半在陌生的地方逛街，正在想該去哪裡吃晚餐。雖然你們都很餓，但你不想隨便遇到一間餐廳就進去，寧願再走走，挑間好的來吃。你自認眼光精準，一看就能知道這家餐廳的品質如何，還可以跟其他餐廳比較。你更判斷出在另一半不耐煩之前，大概有時間逛到最多十間餐廳。而且，因為你不想留下優柔寡斷的印象，所以決定只要走過，絕不回頭。

遇到這樣的問題，最好的策略是先瞭解一下大致的狀況，也就是前幾間餐廳都只是觀察，卻不走進去。其實你也可以隨便遇到一間餐廳就走進去，但既然你完全不知道這個環境的情況，能夠挑到最佳餐廳的機率就只有1/10。所以，最佳的做法是先看過幾間，接著在剩下的選擇當中，只要看到「比先前幾間都好」的選擇，就決定是它了。

說明這樣的餐廳挑選策略。前三間餐廳是做為品質判斷的基準，單純觀察品質如何，而不會進去用餐。當你逛到了第七間餐廳，發現它比過去幾個選擇都優秀，那麼就可以在這裡停下，進去用餐。

然而，選前三間做為基準，這個數字正確嗎？在這種最佳停止時機的問題裡，重點在於到底該先觀察幾間餐廳（而不進去用餐），才能瞭解這個環境大致的情況？如果看得不夠多，就無法充分瞭解環境，但如果觀察（並排除）了太多間，可能剩下來的選擇就十分有限。

這項問題背後的數學原理十分複雜，總而言之就是：你應該觀察前37%的餐廳（在只有十間的時候，捨去算成三間），接著只要遇到比先前都優秀的餐廳，就以此為最後決定。

說得更精確一點，就是先拒絕所有可得選項個數的1/e，這裡的e是歐拉數（Euler’s number）的簡寫，因為歐拉數大約是2.718，所以1/e大約是0.368，或是寫成大約37%。

如果要從一百間餐廳當中挑選，到底該先觀察幾間餐廳，能夠讓選到最佳餐廳的可能性達到最高。我們可以料想到，如果太早做出決定，等於是盲目選擇，所以能選到最佳餐廳的機率很低；同理，如果太晚做出決定，很有可能已經錯過最佳的選擇。倘若你觀察的是前37個選項，就能把挑到最佳餐廳的可能性提升到最高。

圖片來源：pexels

只不過，如果最佳餐廳就在前37%裡怎麼辦？那不就錯過了嗎？在此要提醒各位，這種「37%」的規則本來就不是成功的保證，它只是一個機率法則，告訴你有37%的時候能夠挑出最好的餐廳。37%已經是這種情況下的最高機率，高於有十間餐廳可選而隨便選的10%，更遠遠高於有一百間餐廳可選而隨便選的1%。在選項個數愈多的時候，相對成功率也會愈高。

最佳停止時機的規則並不只適用於挑餐廳。事實上，數學家一開始是把這套規則用在「雇用問題」上。假如你得依序面試一定數量的應徵者，並在面試每個人後立刻告知是否錄用，那就該採用37%的規則。先面試37%的應徵候選人（但都不錄用），以此做為基準。而在接下來，只要出現比先前都優秀的應徵者，就直接錄用。

我家附近的超市有11個結帳台，我也會先走過前37%（四個）結帳台，觀察現在的隊伍有多長，接著只要看到更短的隊伍，就排那一排。

如果我和朋友出門夜歸，打算趕上最後一班列車，但乘客似乎不少，而我們又希望能找到空位最多的車廂，好讓我們坐在一起；這時也可以運用37%的規則。要是遇到的列車總共有八節車廂，我們就會先走過前三節，觀察空位的狀況，接著在空位比先前都多的車廂坐下來。

活用37%法則

以上的場景雖然已經盡量舉實際的例子，但還是有一部分略為牽強，再修正一下或許會更加貼近現實。例如在觀察餐廳的時候，如果發現有一半都沒有空桌了，你該怎麼辦？在這種時候，很顯然該減少拒絕的餐廳。所以，不要再堅持觀察完前37%，而是觀察了前25%之後，一出現比先前都優秀的選項時，就該做出決定。

像是在搭上末班列車的時候，如果有時間可以回頭走進剛才經過的車廂，但車廂有50%的機率坐滿了乘客，那又該怎麼選擇？可以回頭，代表選項變多、也有餘裕可以挑久一點，所以此時就可以先觀察並拒絕前61%的車廂，接著選擇下一節最空的車廂。當然，你得在列車跑掉之前上車才行。

此外，不管是想知道賣房的最佳時機，或是該離電影院多遠才最有機會找到不必走太久的車位，這些問題都有相關的最佳停止時機演算法。只不過，隨著條件愈來愈貼近現實，相關的數學也會愈來愈複雜，無法再用一個簡單的百分比來表示。

甚至，還有一套最佳停止時機演算法，算的是你應該先跟多少人約會，再決定你的最佳終生伴侶。首先，你得判斷在自己定下來之前，大概可以交幾個男女朋友。假設你大概一年交一個，那麼從18歲到35歲之間，就有17人可供選擇。這時，根據最佳停止時機法則，你應該先遊戲人間6年到7年（大約是17年的37%），觀察自己可以遇上怎樣的對象。接著，只要出現比過去都優秀的選擇，你就該認定這是今生的伴侶。

對於像這樣由一套預定規則來支配自己的愛情生活，很多人都會感到懷疑。如果在那前37%裡，真的有很合得來的人怎麼辦？難道真的要為了執行這套求愛演算法，就狠心放下對方嗎？如果你自己遵守了一切規則，但認定是最佳選項的對方卻不認為你是最佳選項，又該怎麼辦？如果走到一半，發現自己喜歡的條件不一樣了，又要怎麼辦？

還好，講到內心、或是其他更明顯的數學最佳化問題時，我們並不一定需要找到絕無僅有的真命天子／天女、最好的解決方案。世界上可能有很多人都會跟我們處得不錯，能讓我們有幸福的一生。最佳停止時機的策略，並不會提供所有人生問題的答案。

雖然演算法潛力無窮，能夠協助我們處理日常生活的許多面向，但絕不是所有的問題都能用演算法找出最佳解答。

我們雖然可以利用演算法來簡化、加速單調乏味的任務，但風險也常常伴隨而來。因為演算法包含輸入、規則和輸出這三個面向，也就代表有三個可能出錯的地方。就算使用者確信所用的規則完全符合自身需求，只要輸入不小心，或是輸出不合規範，就有可能造成災難。

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