全家人同一天生日的機率是多少？統計讓數字說話

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同一天生日

在2017 年1 月14日這一天，美國電視聯播網哥倫比亞廣播公司新聞部（CBS News）報導了一則加德納家族中的母親、父親與兒子生日都在同一天的新聞。這則新聞指出這件事發生的機率大約只有1/133,000，遠小於一生中被閃電擊中的機率約1/12,000。就是因為這樣的事鮮少發生，所以才值得當作新聞。

這件事到底有多麼稀奇呢？讀完本章之後，你就有能力評估像母親、父親與兒子在同一天生日這類事件的巧合程度。這件事是否如同表面看來如此令人驚訝呢？

機率概念

可能性（或機會、機遇）是不大容易掌握的題目。我們就從「如果我們試很多次，會發生什麼狀況」開始思考。我們也會先討論像擲銅板時有二分之一機會得到正面這樣的例子，然後再探討更複雜的情境。

就連美式足球規則也都同意，擲銅板可以避免偏袒。抽樣調查挑選受訪對象時，或者醫學試驗將病人分配到處理組或安慰劑組時，如果有偏袒，就像美式足球比賽一開始要決定球先給哪一隊時有所偏袒一樣，都是不能接受的。這就是為什麼統計學家建議使用隨機樣本及隨機化實驗，這些只是擲銅板的花俏版本。如果我們仔細觀察擲銅板或者隨機樣本的結果，一件重要事實就會浮現：短期機遇現象無法預測，但是長期下來，會呈現有規則且可預測的模式。

擲一枚銅板或者選擇一個簡單隨機樣本，都無法在事前預測結果；因為你如果重複擲銅板或選樣本，結果本來就會次次不同。但還是可以在結果裡面看到某種規律的模式，而且只有在重複許多次以後，這個模式才會清楚浮現。這個了不起的事實，就是機率概念的基礎。

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在統計裡的「隨機」，並不是「偶然」的同義詞，而是在描述某種長期下來才會出現的規則。我們在每一天的生活經驗裡，都會碰到隨機不可預測的那一面，但我們很少有機會能重複觀察同一個隨機現象非常多次，次數多到能夠看出機率所描述的長期規律模式。你可以在上圖中看到規則出現，長期來看，擲出正面的比例是0.5，這是機率的直覺概念。機率0.5代表「試驗很多很多次時，有一半時候會發生」。

我們可能僅僅因為銅板只有兩面，就會猜正面機率是0.5了。我們也可能因為事件有兩個看起來一樣的結果，就假定兩個結果的發生機率是0.5。但是嬰兒的性別也只有兩種可能，機率卻不一樣—男嬰的機率差不多是0.51，而不是0.50。這個機率概念是根據經驗法則而來，也就是說，是根據數據得來而不是根據理論。機率描述在許多次試驗中會發生什麼狀況，而且我們必須真的觀察許多次擲銅板的結果、許多的嬰兒，才能夠抓到這個機率。

機率為0的結果從來都不會發生，而機率為1的結果則每重複一次就發生一次。機率為1/2的結果，在一長串的試驗當中，大約有一半時間會發生。當然我們永遠沒辦法確實觀察出一個機率。比如說，銅板不管擲了多少次都可以再擲。而數學的機率是一種理想化的描述，根據的是推想在一串無休止的試驗當中會發生的狀況。

我們沒有要在這裡做深入的研究。隨機現象的存在，只不過是我們觀察這世界所得到的事實。機率也不過是用來描述隨機現象長期規律性的語言。擲一次銅板的結果、放射源發射出粒子的間隔時間，以及實驗室老鼠生的下一胎小老鼠的性別，都是隨機的。隨機樣本或者隨機化實驗的結果，也一樣是隨機的。一大群人的行為，也常常和擲多次銅板或取多個隨機樣本的結果差不多隨機。

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