如何學好數學？一堂日本中學生真實案例：想高效學習，先從犯錯開始｜《人人都有數學腦》

十年來，我收到數百封家長寫給我的電子郵件，請我就孩子的數學學習，給他們建議。不管我再怎麼努力，也無法回覆每一封信。最近有一封信引起我的注意。這封信是史丹佛大學部一個學生的父親寫來的，懇求我幫助他的女兒茱莉。

十年前，茱莉進入史丹佛就讀，因為罹患重病，請了好幾個月病假。這位父親告訴我，他女兒討厭數學，有嚴重的數學焦慮症，全因一門統計學的課程沒能取得學分，使她無法取得英國文學系學士學位。據她父親說，那個學期一開始上統計學，她就發現課程內容「難以理解」，加上生病，把她逼到身體的極限，讓她負荷不了。

我和茱莉見了面，她對英國文學的求知欲和熱情給我留下很深刻的印象。談到數學時，她那深深的沮喪也撼動了我。中學時期的數學課讓她挫敗，她相信自己永遠無法拿到那門統計學的學分。 

我安排我的博士生瑪姬．韓恩（Margie Hahn）當她的家教。起先，瑪姬告訴我，每次統計學考試，茱莉都不及格，但瑪姬繼續輔導她。她們一起面對挑戰，擁抱掙扎。她們每週都檢討課堂考試，研究茱莉做錯的每一道題目。瑪姬幫助茱莉用不同的角度來看問題，給她看不同的解題方式。之後茱莉的成績漸漸出現起色。到了學期末，我收到瑪姬傳給我的簡訊，告訴我茱莉期末考拿到A-。這真是天大的好消息。茱莉和她父親都非常開心。茱莉終於從史丹佛大學部畢業，目前正在攻讀博士學位。 

茱莉盯著自己的錯誤，思考不同的解題方式，因此掙脫枷鎖，突飛猛進。這樣的奇蹟還可歸因於統計學教授做的一件事：把學生考卷發給他們，讓他們重新思考、改正。目前這麼做的老師不多，但正視錯誤正是任何學習最重要的一環。 

我在史丹佛大學大學部開設一門叫做「如何學習數學」的課程。每年，我都會播放一段日本中學生上數學課的影片給學生看。我告訴他們，這段影片來自探討不同國家教學本質的一項研究。這項研究選擇日本，是因為這個國家的學生數學成績非常好。我的學生總是看得目不轉睛。 

影片中的班級約有40名學生，有的學生成績好，有的差。一開始上課時，老師提出一個圖形的問題，要學生思考。圖上呈現的是一塊土地，要分給兩個人。學生的任務是，在不改變每人擁有土地面積的情況下，筆直的將這塊土地一分為二。問題裡面沒有任何數字，不過分割是個難題，因為土地的形狀不規則。如果這塊土地有90度的直角，那就容易多了，但沒有這樣的直角。我在播放影片之前，會先讓學生知道題目，想想看要怎麼做，然而幾乎沒有人能找到解決辦法。日本的老師給學生時間，針對問題進行分組討論。有意思的一點是，老師給學生選擇：跟朋友討論，請老師幫忙，或是跟老師要提示卡。 

圖片來源：天下文化《人人都有數學腦》

這一班的學生討論如何分割時，老師在教室走動，協助各組學生上台報告。 

這堂課氣氛活躍，有人站著、有人坐著，很多的活動和交流，各組都傳出笑聲。 

老師和學生交談時，面露微笑，甚至哈哈笑，看來與學生關係融洽。小組討論時，幾乎每一個學生都帶著笑容。這時， 班上的一項互動讓我的學生驚訝、好奇。老師要一組的學生跟全班同學分享他們的錯誤。學生大惑不解的看著老師，問道： 「您要我們說出我們做錯的地方？」「沒錯，」老師說：「因為錯誤才是重要的地方。如果一開始就做對，不會做錯，那就用不著上學了。」這句話擲地有聲─老師讓學生明白，錯誤本來就在他的預料之中，這是一個自然的學習過程，他重視錯誤，要全班同學分享錯誤，因為對每一個人來說，錯誤正是高效學習的源頭。 

於是，學生輪流上台，笑著分享自己的錯誤和解決方案。老師引導學生討論，把預先做好的一些圖形貼在黑板上，要學生進一步思考這個問題，要求他們用線條和角度的知識來調整形狀，鼓勵學生提出不同的做法。  

這堂課會讓我的學生驚訝，有好幾個原因。首先是這堂課的探究本質。在我的學生當中，很多人都認為日本、中國等國的學生數學好是因為老師不斷訓練學生，要他們死記定理、公式和規則。其實不然。第二個原因是老師提供圖形範例，包括他預先做好的圖形紙板（這點我們將在第 5 章深入探討）。第三個原因則是老師的鼓勵及分享錯誤。研究不同國家教學方式的研究人員也發現一個令我們美國人憂心的現象：在日本，學生會利用 44% 的時間「創造、思考及努力掌握基本概念」，但在美國，學生只花 1% 的時間這麼做。曾得到獎項肯定的科學作家史帝夫．奧森（Steve Olson）研究各國參加國際數學奧林匹克競賽的學生。關於在日本課堂上學生的掙扎與數學多樣性，他得出這樣的結論：  

老師希望學生努力動腦，思考問題，因為他們相信，如此一來學生才會真正理解數學概念。學校不採行能力分組，因為校方將學生之間的差異視為一種資源， 可以擴大討論的範圍，以解決問題。並非所有的學生都會從一堂課上學到相同的東西⋯⋯和填鴨式死背公式相比，每一個學生都能從與問題搏鬥學到更多。